David Hilbert

David Hilbert
David Hilbert (1912)
Nacido	(01/23/1862) 23 de enero 1862 Königsberg o Wehlau, Provincia de Prusia (hoy Znamensk, región de Kaliningrado, Rusia )
Murió	14 de febrero 1943 (02/14/1943) (81 años) Göttingen, Alemania
Residencia	Alemania
Nacionalidad	Alemán
Campos	Matemático y Filósofo
Instituciones	Universidad de Königsberg Universidad de Göttingen
Alma máter	Universidad de Königsberg
Doctoral consejero	Ferdinand von Lindemann
Los estudiantes de doctorado	Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal Werner Boy Richard Courant Haskell Curry Max Dehn Paul Funk Kurt Grelling Alfréd Haar Erich Hecke Earle Hedrick Ernst Hellinger Wallie Hurwitz Oliver Kellogg Hellmuth Kneser Robert König Emanuel Lasker Charles Max Mason Erhard Schmidt Andreas Speiser Hugo Steinhaus Gabriel Sudán Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo
Conocido por	Teorema de la base de Hilbert Axiomas de Hilbert Los problemas de Hilbert El programa de Hilbert Acción de Einstein-Hilbert Espacio de Hilbert
Influencias	Immanuel Kant
Premios notables	ForMemRS

David Hilbert, ForMemRS (alemán: [Daːvɪt hɪlbɐt]; 23 enero 1862 a 14 febrero 1943) fue un alemán matemático . Es reconocido como uno de los matemáticos más influyentes y universales de los siglos 19 y 20. Hilbert descubierto y desarrollado una amplia gama de ideas fundamentales en muchas áreas, incluyendo la teoría de invariantes y la axiomatización de la geometría. También formuló la teoría de Espacios de Hilbert, uno de los fundamentos de análisis funcional.

Hilbert adoptó y defendió calurosamente Georg Cantor teoría de conjuntos 's y números transfinitos. Un famoso ejemplo de su liderazgo en las matemáticas es su presentación 1900 de un colección de problemas que marcaron el rumbo de gran parte de la investigación matemática del siglo 20.

Hilbert y sus estudiantes han contribuido significativamente al establecimiento de rigor y desarrollaron herramientas importantes que se utilizan en la física matemática moderna. Hilbert es conocido como uno de los fundadores de teoría de la prueba y la lógica matemática, así como por ser de los primeros en distinguir entre las matemáticas y metamatemática.

Vida

Hilbert, el primero de los dos hijos de Otto y María Teresa (Erdtmann) Hilbert, nació en la Provincia de Prusia - ya sea en Königsberg (según la propia declaración de Hilbert) o en Wehlau (conocido desde 1946 como Znamensk) cerca de Königsberg, donde su padre trabajaba en el momento de su nacimiento. En el otoño de 1872, entró en el Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium Fridericianum, la misma escuela que Immanuel Kant había asistido a 140 años antes), pero después de un periodo infeliz que transfiere a (otoño 1879) y se graduó de (primavera 1880), más orientada hacia la ciencia Wilhelm Gymnasium. Al graduarse se inscribió (otoño de 1880) en el Universidad de Königsberg, el "Albertina". En la primavera de 1882, Hermann Minkowski (dos años menor que Hilbert y también natural de Königsberg pero tan talentoso que se había graduado temprano de su gimnasio y se ha ido a Berlín para tres semestres), regresó a Königsberg y entró en la universidad. "Hilbert sabía que su suerte cuando lo vio. A pesar de la desaprobación de su padre, pronto se hizo amigo de los tímidos, dotado de Minkowski." En 1884, Adolf Hurwitz llegó de Göttingen como Extraordinario, es decir, un profesor asociado. Un intercambio científico intenso y fructífero entre los tres comenzó, y Minkowski y Hilbert especialmente ejercería una influencia recíproca sobre la otra en distintos momentos de sus carreras científicas. Hilbert obtuvo su doctorado en 1885, con una tesis, escrita bajo Ferdinand von Lindemann, titulado Spezieller Über invariante Eigenschaften binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre las propiedades invariantes de especial binario, en particular, las funciones armónicas esféricas ").

Hilbert se mantuvo en la Universidad de Königsberg como Privatdozent (profesor titular) de 1886 a 1895. En 1892, se casó con Hilbert Käthe Jerosch (1864-1945) ", la hija de un comerciante de Konigsberg, una señora joven abiertamente con una independencia de criterio que emparejado su propia ". Mientras que en Königsberg tenían su único hijo, Franz Hilbert (1893-1969). En 1895, como resultado de la intervención en su nombre por Felix Klein, obtuvo el puesto de profesor de Matemáticas en la Universidad de Göttingen, en ese momento el mejor centro de investigación para las matemáticas en el mundo. Permaneció allí durante el resto de su vida.

Su hijo Franz sufrió durante toda su vida a partir de una enfermedad mental no diagnosticado: su intelecto inferior fue una terrible decepción para su padre y esta desgracia era una cuestión de angustia a los matemáticos y estudiantes de Göttingen. Minkowski - Hilbert de "mejor y más verdadero amigo" - murió prematuramente de una apendicitis en 1909.

El Instituto de Matemáticas en Göttingen. Su nuevo edificio, construido con fondos de la Fundación Rockefeller, fue inaugurada por Hilbert y Courant en 1930.

La escuela Göttingen

Entre los estudiantes de Hilbert fueron Hermann Weyl, campeón de ajedrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John von Neumann era su ayudante. En la Universidad de Göttingen, Hilbert estaba rodeado de un círculo social de algunos de los matemáticos más importantes del siglo 20, como el Emmy Noether y Alonzo Church.

Entre sus 69 Ph.D. estudiantes en Göttingen fueron muchos los que más tarde se convirtió matemáticos famosos, entre ellos (con fecha de tesis): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), y Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 y 1939 Hilbert fue editor de la Mathematische Annalen, la revista líder matemático de la época.

"Bueno, él no tenía suficiente imaginación para convertirse en un matemático".

La respuesta de -Hilbert al enterarse de que uno de sus alumnos había abandonado a estudiar poesía.

Años más tarde

Hilbert vivió para ver a los nazis purgar muchos de los miembros prominentes de la facultad en Universidad de Gotinga en 1933. Los forzado fuera incluido Hermann Weyl (que había tomado la silla de Hilbert cuando se retiró en 1930), Emmy Noether y Edmund Landau. Uno que tuvo que salir de Alemania, Paul Bernays, había colaborado con Hilbert en la lógica matemática, y co-autor con él el importante libro Grundlagen der Mathematik (que finalmente apareció en dos volúmenes, en 1934 y 1939). Esta fue una secuela de la Hilbert Libro Ackermann Los principios de la lógica matemática de 1928.

Un año más tarde, Hilbert asistió a un banquete y se sentó junto a la nueva ministra de Educación, Bernhard Rust. Preguntó Rust, "¿Cómo es la matemática en Göttingen, ahora que ha sido liberado de la influencia judía?" Hilbert respondió: "Matemáticas en Göttingen? No hay realmente nada más."

La tumba de Hilbert:
Wissen müssen Wir
Wir werden wissen

En el momento en Hilbert murió en 1943, los nazis habían restaffed casi por completo la universidad, en la medida en que muchos de los primeros profesores habían sido ya sea judía o casada con Judios. El funeral de Hilbert asistieron menos de una docena de personas, sólo dos de los cuales eran colegas académicos, entre ellos Arnold Sommerfeld, un físico teórico y también natural de Königsberg. La noticia de su muerte sólo se dio a conocer al resto del mundo seis meses después de que él había muerto.

En sus puntos de vista religiosos, era un agnóstico. También argumentó que la verdad matemática es independiente de la existencia de Dios o de otras suposiciones a priori.

El epitafio de su lápida en Göttingen consta de las famosas líneas que pronunció en la conclusión de su discurso de jubilación a la Sociedad de Científicos alemanes y médicos en el otoño de 1930. Las palabras fueron dadas en respuesta a la máxima latina: " Ignoramus et ignorabimus "o" No sabemos, no vamos a saber ":

Wir müssen wissen.

Wir werden wissen.

En Inglés:

Debemos saber.

Sabremos.

El día antes de Hilbert pronunció estas frases en la reunión anual 1930 de la Sociedad de Científicos alemanes y médicos, Kurt Gödel en una mesa redonda durante la Conferencia sobre Epistemología celebró conjuntamente con la Sociedad de reuniones tentativamente anunciado la primera expresión de su teorema de incompletitud.

Hilbert resuelve el problema de Gordan

El primer trabajo de Hilbert en funciones invariantes lo llevó a la demostración en 1888 de su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de los generadores de formas binarias usando un enfoque computacional complejo. Los intentos de generalizar su método a las funciones con más de dos variables fallidos debido a la enorme dificultad de los cálculos necesarios. Con el fin de resolver lo que se había hecho conocido en algunos círculos como Problema de Gordan, Hilbert dio cuenta de que había que tomar un camino completamente diferente. Como resultado, demostró Teorema de la base de Hilbert, que muestra la existencia de un conjunto finito de generadores, para los invariantes de quantics en cualquier número de variables, pero en una forma abstracta. Es decir, mientras que demuestra la existencia de un conjunto tal, que no era una demostración constructiva - no mostrar "un objeto" -, sino más bien, se trataba de un prueba de existencia y se basó en el uso de la Ley de Exclusión Medio en una extensión infinita.

Hilbert envió sus resultados a la Mathematische Annalen. Gordan, el experto en la casa en la teoría de invariantes para la Mathematische Annalen, no pudo apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición, ya que no era lo suficientemente amplia. Su comentario fue:

Das ist nicht Matemáticas. Das ist Theologie.

(Esto no es matemática. Se trata de Teología.)

Klein, por su parte, reconoció la importancia de la obra, y garantizó que sería publicado sin alteraciones. Animado por Klein, Hilbert en un segundo artículo extendió su método, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y la mandó de nuevo a los Annalen. Después de haber leído el manuscrito, Klein escribió a él, diciendo:

Sin duda este es el trabajo más importante en el álgebra general de que los Annalen ha publicado nunca.

Más tarde, después de la utilidad del método de Hilbert fue universalmente reconocido, el propio Gordan diría:

Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos.

A pesar de sus éxitos, la naturaleza de su prueba despertó más problemas de Hilbert podría haber imaginado en ese momento. Aunque Kronecker había concedido, Hilbert más tarde respondió a críticas similares de otros que "muchas construcciones diferentes están subsumidos bajo una idea fundamental" - en otras palabras (para citar a Reid): "A través de una prueba de la existencia, Hilbert había sido capaz de obtener una construcción "; "La prueba" (es decir, los símbolos de la página) era "el objeto". No todos estaban convencidos. Mientras Kronecker moriría poco después, su filosofía constructivista continuaría con el joven Brouwer y su desarrollo intuicionista "escuela", para gran tormento de Hilbert en sus últimos años. De hecho Hilbert perdería su "alumno superdotado" Weyl al intuicionismo - "Hilbert fue perturbado por la fascinación de su antiguo alumno con las ideas de Brouwer, que despertaron en Hilbert la memoria de Kronecker". Brouwer el intuicionista, en particular, se opuso a la utilización de la ley del medio excluido sobre conjuntos infinitos (como Hilbert había usado). Hilbert respondería:

Tomando el principio del tercero excluido del matemático ... es lo mismo que ... que prohíbe al boxeador el uso de los puños.

Axiomatización de la geometría

El texto Grundlagen der Geometrie (tr .: Fundamentos de la Geometría) publicados por Hilbert en 1899 propone un conjunto formal, la Axiomas de Hilbert, sustituyendo las tradicionales axiomas de Euclides . Evitan debilidades identificadas en los de Euclides , cuyas obras en el momento todavía se utilizaban libros de texto de la moda. Independientemente y contemporáneamente, un estudiante estadounidense de 19 años de edad llamado Robert Lee Moore publicó un conjunto equivalente de axiomas. Algunos de los axiomas coinciden, mientras que algunos de los axiomas en el sistema de Moore son teoremas de Hilbert y viceversa.

El enfoque de Hilbert marcó el cambio hacia lo moderno método axiomático. En esto, Hilbert fue anticipada por El trabajo de Peano de 1889. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. Geometría puede tratar las cosas, acerca de los que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado explícito a los conceptos no definidos. Los elementos, tales como punto, línea , plano , y otros, podría ser sustituido, como dice Hilbert, por mesas, sillas, vasos de cerveza y otros objetos. Son sus relaciones definidas que se discuten.

Hilbert enumera primero los conceptos indefinidos: punto, línea, plano, acostado en (una relación entre puntos y aviones), intermediación, la congruencia de pares de puntos, y congruencia de ángulos . Los axiomas unifican tanto la geometría plana y geometría sólida de Euclides en un solo sistema.

Los 23 problemas

Hilbert planteó una lista más influyente de 23 problemas sin resolver en la Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Esto generalmente se calculó la compilación de más éxito y profundamente considerado de problemas abiertos en ser producidos por un matemático individual.

Después de volver a trabajar los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podría haber extrapolado al resto de las matemáticas. Su enfoque fue diferente, sin embargo, de la 'fundamentalista' más tarde Russell-Whitehead o "enciclopedista" Nicolas Bourbaki, y de su contemporáneo Giuseppe Peano. La comunidad matemática en su conjunto podría alistarse en problemas, que se había identificado como aspectos cruciales de las áreas de las matemáticas que tomó a ser clave.

El conjunto de problemas se lanzó como una charla "Los Problemas de Matemáticas", presentado en el transcurso del II Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Aquí está la introducción del discurso que dio Hilbert:

¿Quién de nosotros no estaría contento de levantar el velo detrás del cual se esconde el futuro; para mirar a los próximos avances de nuestra ciencia y en los secretos de su desarrollo en los siglos por venir? ¿Cuáles serán los fines hacia los cuales el espíritu de las futuras generaciones de matemáticos tenderá? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos será el nuevo siglo revelar en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?

Presentó menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas del Congreso. En una publicación posterior, se amplió el panorama, y llegó a la formulación de los ahora canónicos 23 Problemas de Hilbert. El texto completo es importante, ya que la exégesis de las preguntas que todavía puede ser un tema de debate inevitable, cada vez que se preguntó cuántos han sido resueltos.

Algunas de ellas se resolvieron en un plazo breve. Otros se han discutido a lo largo del siglo 20, con unos pocos ahora toma como venir a cierre inadecuadamente de composición abierta. Algunos incluso siguen este día para seguir siendo un desafío para los matemáticos.

Formalismo

En una cuenta que se había convertido en el estándar por el mediados de siglo, conjunto problema de Hilbert era también una especie de manifiesto, que abrió el camino para el desarrollo de la escuela formalista, una de las tres principales escuelas de matemáticas del siglo 20. De acuerdo con el formalista, las matemáticas son la manipulación de símbolos según reglas acordadas formales. Es por lo tanto una actividad autónoma de pensamiento. Hay, sin embargo, espacio para dudar de que las opiniones del propio Hilbert eran simplista formalista en este sentido.

El programa de Hilbert

En 1920 se propuso explícitamente un proyecto de investigación (en metamatemática, como entonces se denominó) que se conoció como El programa de Hilbert. Quería matemáticas a formularse sobre una base lógica sólida y completa. Él creía que, en principio, esto se podría hacer, al mostrar que:

1. todas las matemáticas se sigue de un sistema finito elegido correctamente de axiomas; y
2. que algunos de estos sistemas axioma es demostrablemente coherente a través de algunos medios, como la cálculo épsilon.

Él parece haber tenido razones técnicas y filosóficas para la formulación de esta propuesta. Afirmó su disgusto por lo que había llegado a conocer como la ignorabimus, sigue siendo un problema activo en su tiempo en el pensamiento alemán, y remonta en que la formulación de Emil du Bois-Reymond.

Este programa sigue siendo reconocible en el más popular filosofía de las matemáticas, donde se le suele llamar formalismo. Por ejemplo, el Grupo Bourbaki adoptó una aguada y la versión selectiva de él como adecuado a las necesidades de sus proyectos individuales de (a) a escribir obras fundacionales enciclopédicos, y (b) el apoyo a la método axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha sido exitoso e influyente en relación con el trabajo de Hilbert en el álgebra y el análisis funcional, pero no ha podido participar de la misma manera con sus intereses en la física y la lógica.

Hilbert escribió en 1919:

No estamos hablando aquí de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no es como un juego cuyas tareas están determinados por normas estipuladas arbitrariamente. Más bien, es un sistema conceptual que posee necesidad interna que sólo puede ser así y de ninguna manera de otra manera.

Hilbert publicó sus puntos de vista sobre los fundamentos de las matemáticas en el trabajo 2-volumen Grundlagen der Mathematik.

El trabajo de Gödel

Hilbert y los matemáticos que trabajaron con él en su empresa estaban comprometidos con el proyecto. Su intento de apoyar a las matemáticas axiomatizada con principios definitivos, lo que podría desterrar incertidumbres teóricas, sin embargo, fue a terminar en fracaso.

Gödel demostró que cualquier sistema formal no contradictoria, que era lo suficientemente amplio como para incluir al menos la aritmética, no puede demostrar su integridad a través de sus propios axiomas. En 1931 su teorema de incompletitud mostró que el gran plan de Hilbert era imposible como se indica. El segundo punto no puede de ninguna manera razonable combinar con el primer punto, siempre y cuando el sistema axioma es genuinamente finitista.

Sin embargo, los logros posteriores de teoría de la prueba en la consistencia menos clarificado lo que se refiere a las teorías de preocupación central para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había comenzado la lógica en este curso de aclaración; la necesidad de entender el trabajo de Gödel luego condujo al desarrollo de teoría de la repetición y después lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930. La base para más tarde la informática teórica, en Alonzo Church y Alan Turing también surgieron directamente de este "debate".

El análisis funcional

Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio del diferencial y ecuaciones integrales; su obra tuvo consecuencias directas para las partes importantes de análisis funcional moderno. Para llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de una dimensión infinita espacio euclidiano , más tarde llamado Espacio de Hilbert. Su trabajo en esta parte del análisis sirvió de base para importantes contribuciones a las matemáticas de la física en las próximas dos décadas, aunque desde una dirección inesperada. Mas tarde, Stefan Banach amplificó el concepto, definiendo Espacios de Banach. Espacios de Hilbert son una clase importante de los objetos en el área de análisis funcional, en particular de la teoría espectral de operadores lineales autoadjuntos, que creció a su alrededor durante el siglo 20.

Física

Hasta 1912, Hilbert fue casi exclusivamente un matemático "puro". Al planificar la visita de Bonn, donde se sumergió en el estudio de la física, su compañero matemático y amigo Hermann Minkowski bromeó que tenía que pasar 10 días en cuarentena antes de poder visitar Hilbert. De hecho, Minkowski parece responsable de la mayor parte de las investigaciones de física de Hilbert antes de 1912, incluyendo su seminario conjunto en el tema en 1905.

En 1912, tres años después de la muerte de su amigo, Hilbert volvió su atención al tema casi exclusivamente. Él dispuso que un "tutor física" para sí mismo. Comenzó sus estudios la teoría cinética de los gases y se trasladó a primaria teoría de la radiación y la teoría molecular de la materia. Incluso después de la guerra comenzó en 1914, continuó seminarios y clases en las que las obras de Albert Einstein y otros fueron seguidos de cerca.

En 1907 Einstein había enmarcado los fundamentos de la teoría de la gravedad, pero luego luchado durante casi 8 años con un problema de confusión de poner la teoría en forma definitiva. A principios del verano de 1915, el interés de Hilbert en la física se había centrado en la relatividad general , e invitó a Einstein a Göttingen para ofrecer una semana de conferencias sobre el tema. Einstein recibió una entusiasta acogida en Göttingen. Durante el verano Einstein supo que Hilbert también estaba trabajando en las ecuaciones de campo y redobló sus propios esfuerzos. Durante 11 1915 Einstein publicó varios trabajos que culminaron en "las ecuaciones de campo de gravitación" (véase Einstein ecuaciones de campo). Casi simultáneamente David Hilbert publicó "Los fundamentos de la Física", una derivación axiomática de las ecuaciones de campo (ver Einstein-Hilbert acción). Hilbert acreditada completamente Einstein como el creador de la teoría, y ningún conflicto de prelación público referente a las ecuaciones de campo de producirse alguna vez entre los dos hombres de su vida. Ver más en prioridad.

Además, el trabajo de Hilbert previsto y asistido varios avances en el formulación matemática de la mecánica cuántica. Su trabajo fue un aspecto clave de la Hermann Weyl y John von Neumann trabajo 's sobre la equivalencia matemática de Werner Heisenberg la mecánica de matrices y Erwin Schrödinger ecuación de onda y su tocayo Espacio de Hilbert juega un papel importante en la teoría cuántica. En 1926 von Neumann demostró que si los estados atómicos se entendieron como vectores en el espacio de Hilbert, entonces ellos corresponderían tanto con la teoría de funciones de onda de Schrödinger y matrices de Heisenberg.

A lo largo de esta inmersión en la física, Hilbert trabajó en poner rigor en las matemáticas de la física. Mientras que dependen en gran medida las matemáticas avanzadas, los físicos tendían a ser "descuidado" con él. Para un matemático "puro" como Hilbert, esto era a la vez "feo" y difícil de entender. Cuando empezó a entender la física y cómo los físicos estaban usando las matemáticas, desarrolló una teoría matemática coherente para lo que encontró, lo más importante en el área de ecuaciones integrales. Cuando su colega Richard Courant escribió el ya clásico Los métodos de la física matemática, incluyendo algunas de las ideas de Hilbert, añadió el nombre de Hilbert como autor a pesar de que Hilbert no había contribuido directamente a la escritura. Hilbert dijo "La física es demasiado difícil para los físicos", lo que implica que la matemática necesaria fue en general más allá de ellos; el libro de Courant-Hilbert hizo más fácil para ellos.

Teoría de los números

Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su 1897 tratado Zahlbericht ("informe sobre los números", literalmente). También resolvió una serie teoría significativa problema formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud, utilizó una prueba de la existencia que muestra que debe haber soluciones para el problema en lugar de proporcionar un mecanismo para producir las respuestas. A continuación, tuvo poco más de publicar sobre el tema; pero la aparición de Hilbert formas modulares en la disertación de un estudiante significa su nombre está unido además a un área importante.

Hizo una serie de conjeturas sobre la teoría de campos de clase. Los conceptos fueron altamente influyente, y su propia contribución sigue vivo en los nombres de los Campo de clase de Hilbert y de la Hilbert símbolo de la teoría de campos de clase local. Los resultados se mostraron en su mayoría en 1930, después del trabajo por Teiji Takagi.

Hilbert no funcionaba en las áreas centrales de teoría analítica de números, pero su nombre se ha dado a conocer por el Conjetura de Hilbert-Pólya, por razones que son anecdóticas.

Comillas

• No estamos hablando aquí de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no es como un juego cuyas tareas están determinados por normas estipuladas arbitrariamente. Más bien, es un sistema conceptual que posee necesidad interna que sólo puede ser así y de ninguna manera de otra manera.