Set (matemáticas)

Un conjunto es una colección de objetos distintos considerados como un todo. Los conjuntos son uno de los más fundamentales conceptos en matemáticas . El estudio de la estructura de conjuntos, teoría de conjuntos , es rica y permanente. Tener sólo ha inventado a finales del siglo 19 , la teoría de conjuntos es ahora una parte omnipresente de la educación matemática, siendo introducido desde escuela primaria en muchos países. La teoría de conjuntos puede ser visto como una base desde la cual casi todas las matemáticas se pueden derivar.

En filosofía , conjuntos se consideran normalmente ser objetos abstractos de la física muestras de las cuales son, por ejemplo; tres copas en una mesa cuando se habla en conjunto como "las copas", o las líneas de tiza en un tablero en forma de la apertura y cierre de corchete símbolos a lo largo con otros símbolos en entre los dos símbolos soporte. Sin embargo, los defensores de la realismo matemático incluidos Penélope Maddy han argumentado que los conjuntos son objetos concretos.

La intersección de dos conjuntos se compone de los objetos contenidos en ambos conjuntos, que se muestran en un diagrama de Venn .

Definición

Al comienzo de su Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Georg Cantor , el principal creador de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición de un conjunto:

Por un "set" nos referimos a cualquier colección M en un todo de definitivas, objetos m distintas (que se llaman los "elementos" de M) de nuestra percepción [Anschauung] o de nuestro pensamiento.

La elementos de un conjunto, también llamados sus miembros, pueden ser cualquier cosa: los números, las personas, las letras del alfabeto, otros conjuntos, y así sucesivamente. Los conjuntos se denotan con convencionalmente mayúsculas. La afirmación de que los conjuntos A y B son iguales significa que tienen exactamente los mismos miembros (es decir, todos los miembros de A es también miembro de B y viceversa).

A diferencia de una multiset, cada elemento de un conjunto debe ser único; no hay dos miembros pueden ser idénticos. Todas las operaciones de conjuntos conservan la propiedad de que cada elemento del conjunto es única. El orden en que se enumeran los elementos de un conjunto es irrelevante, a diferencia de una secuencia o tupla.

Conjuntos Describiendo

Hay dos formas de describir o especificar los miembros de, un conjunto. Una forma es mediante definición intensional, utilizando una regla o descripción semántica. Vea este ejemplo:

A es el conjunto cuyos miembros son los primeros cuatro positivos enteros .

B es el conjunto de colores de la Pabellón francés.

La segunda forma es mediante extensión, es decir, una lista de cada miembro del conjunto. Una definición extensional notated encerrando la lista de miembros en apoyos:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {azul, blanco, rojo}

El orden en que los elementos de un conjunto se enumeran en una definición extensional es irrelevante, ya que son las repeticiones en la lista. Por ejemplo,

{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}

son equivalentes, porque la especificación de extensión significa simplemente que cada uno de los elementos enumerados es un miembro del conjunto.

Para conjuntos con muchos elementos, la enumeración de los usuarios pueden ser abreviado. Por ejemplo, el conjunto de los primeros mil números enteros positivos se puede especificar extensionalmente como:

{1, 2, 3, ..., 1000},

donde el puntos suspensivos ("...") indica que la lista continúa de la manera obvia. Los puntos suspensivos también pueden utilizarse cuando los conjuntos tienen infinitamente muchos miembros. Así, el conjunto de positivo de números pares pueden escribirse como {2, 4, 6, 8, ...}.

La notación con los apoyos también se puede usar en una especificación de un conjunto intensional. En este uso, las llaves tienen el significado que "el conjunto de todo ..." Así que E = {trajes de naipes} es el conjunto cuyos cuatro miembros son ♠, ♦, ♥, y ♣. Una forma más general de este es notación de la configuración constructor, a través del cual, por ejemplo, el conjunto F de los veinte números enteros más pequeños que son menos de cuatro cuadrados perfectos pueden denotarse:

F = {n ^2-4: n es un número entero; y 0 ≤ n ≤ 19}

En esta notación, la dos puntos (":") significa "tal que", y la descripción se puede interpretar como "F es el conjunto de todos los números de la forma de N ^2-4, de tal manera que n es un número entero en el rango de 0 a 19 inclusive ". A veces, el barra vertical ("|") se utiliza en lugar del colon.

A menudo se tiene la opción de especificar un conjunto intensionalmente o extensionalmente. En los ejemplos anteriores, por ejemplo, A = B = C y D.

Afiliación

Si algo es o no es un elemento de un conjunto particular entonces esto es simbolizado por ∈ y ∉ respectivamente. Así, con respecto a los conjuntos definido anteriormente:

• 4 ∈ A y 285 ∈ F (desde 285 = 17² - 4); pero
• 9 ∉ F y verde ∉ B.

Cardinalidad

La cardinalidad | S | de un conjunto S es ". El número de miembros del S" Por ejemplo, ya que la bandera francesa tiene tres colores, | B | = 3.

Hay un juego que no tiene miembros y cero cardinalidad, que se llama la conjunto vacío (o el conjunto nulo) y se denota por el símbolo ø. Por ejemplo, el conjunto A de todos los cuadrados de tres lados tiene cero miembros (| A | = 0), y por lo tanto A = Ø. Aunque, al igual que el número cero , puede parecer trivial, el conjunto vacío es bastante importante en matemáticas. La existencia de este conjunto es uno de los conceptos fundamentales de la teoría axiomática de conjuntos .

En algunos radares infinita cardinalidad. El conjunto N de los números naturales , por ejemplo, es infinito. Algunas cardinalidades infinitos son mayores que otros. Por ejemplo, el conjunto de números reales tiene mayor cardinalidad que el conjunto de números naturales. Sin embargo, se puede demostrar que la cardinalidad de (es decir, el número de puntos en) una línea recta es la misma que la cardinalidad de cualquier segmento de esa línea, de un entero avión, y de hecho de cualquier espacio euclidiano .

Subconjuntos

Si cada miembro del conjunto A es también un miembro del conjunto B, entonces A se dice que es un subconjunto de B, escrito (También pronunciado A está contenido en B). De manera equivalente, podemos escribir , Leer como B es un superconjunto de A, B incluye A, o B contiene una. El relación entre conjuntos establecidos por se llama inclusión o contención.

Si A es un subconjunto de, pero no igual a, B, entonces A se llama un subconjunto propio de B, escrito (A es un subconjunto propio de B) o (B es superconjunto apropiada de A).

Tenga en cuenta que las expresiones y se utilizan de manera diferente por diferentes autores; algunos autores los utilizan para significar lo mismo que (Respectivamente ), Mientras que otros los utilizan para significar lo mismo que (Respectivamente ).

A es un subconjunto de B

Ejemplo:

• El conjunto de todos los hombres es un subconjunto propio del conjunto de todas las personas.
• 
• 

El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto y cada conjunto es un subconjunto de sí mismo:

Conjunto de alimentación

El conjunto potencia de un conjunto S se puede definir como el conjunto de todos los subconjuntos de S. Esto incluye los subconjuntos formados a partir de los miembros de S y el conjunto vacío. Si un conjunto finito S tiene cardinalidad n entonces el conjunto potencia de S tiene cardinalidad 2 ^n. Si S es un infinito (ya sea contable o incontable) estableció entonces el conjunto potencia de S siempre es incontable. El conjunto potencia se puede escribir como 2 ^S.

Como ejemplo, ajustar la potencia 2 ^{{1, 2, 3}} de {1, 2, 3} es igual al conjunto {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {1}, {2}, {3}, o}. La cardinalidad del conjunto original es 3, y la cardinalidad del conjunto potencia es 2 ^3, u 8. Esta relación es una de las razones para el conjunto potencia terminología. Del mismo modo, su notación es un ejemplo de una convención general que proporciona notaciones para juegos basados en sus cardinalidades.

Conjuntos especiales

Hay algunos sistemas que tienen una gran importancia matemática y se denominan con tal regularidad que han adquirido nombres especiales y convenciones de notación para identificarlos. Uno de ellos es el conjunto vacío. Muchos de estos conjuntos se representan utilizando Blackboard negrita. Conjuntos especiales de números incluyen:

• , Que denota el conjunto de todos los números primos .
• , Que denota el conjunto de todos los números naturales . Es decir, = {1, 2, 3, ...}, o, a veces = {0, 1, 2, 3, ...}.
• , Que denota el conjunto de todos los números enteros (ya sea positivo, negativo o cero). Así = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• , Que denota el conjunto de todos los números racionales (es decir, el conjunto de todos adecuados y fracciones impropias ). Por lo tanto, . Por ejemplo, y . Todos los números enteros están en este conjunto, ya que cada número entero una puede ser expresado como la fracción .
• , Que denota el conjunto de todos los números reales . Este conjunto incluye todos los números racionales, junto con todos los irracionales números (es decir, los números que no se puede reescribir como fracciones, tales como y √2).
• , Que denota el conjunto de todos los números complejos .

Cada uno de estos conjuntos de números tiene un número infinito de elementos, y . Los primos se utilizan con menos frecuencia que los otros fuera de la teoría de números y campos relacionados.

Operaciones básicas

Sindicatos

Hay maneras de construir nuevos conjuntos de los ya existentes. Dos juegos se pueden "añaden" juntos. La unión de A y B, denotado por A ∪ B, es el conjunto de todas las cosas que son miembros de A o B.

La unión de A y B

Ejemplos:

• {1, 2} ∪ {rojo, blanco} = {1, 2, rojo, blanco}
• {1, 2, verde} ∪ {rojo, blanco, verde} = {1, 2, rojo, blanco, verde}
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Algunas propiedades básicas de los sindicatos son:

• A ∪ B = B ∪ A
• A ⊆ (A ∪ B)
• A ∪ A = A
• A ∪ ø = A
• A ⊆ B si y sólo si A ∪ B = B

Intersecciones

Un nuevo conjunto también se puede construir mediante la determinación de que los miembros dos conjuntos tienen "en común". La intersección de A y B, denotado por A ∩ B, es el conjunto de todas las cosas que son miembros de ambos A y B. Si A ∩ B = O, entonces A y B se dice que son disjuntos.

La intersección de A y B

Ejemplos:

• {1, 2} ∩ {rojo, blanco} = ø
• {1, 2, verde} ∩ {rojo, blanco, verde} = {verde}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Algunas propiedades básicas de las intersecciones:

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ B ⊆ A
• A ∩ A = A
• A ∩ = ø ø
• A ⊆ B si y sólo si A ∩ B = A

Complementos

Dos juegos también pueden ser "restan". El complemento relativo de A en B (también llamado el conjunto diferencia teórica de B y A), denota por B \ A, (o B - A) es el conjunto de todos los elementos que son miembros de B, pero que no son miembros de A. Tenga en cuenta que es válido para "sustraer" miembros de un conjunto que no están en el conjunto, como la eliminación verde de {1,2,3}; Al hacerlo no tiene ningún efecto.

En ciertas configuraciones de todos los conjuntos en discusión se consideran subconjuntos de un dado universal, fijadas T. En tales casos, U \ A, se llama el complemento absoluta o simplemente complemento de A, y se denota por A '.

El complemento relativa
de A en B

El complemento de A en U

Ejemplos:

• {1, 2} \ {rojo, blanco} = {1, 2}
• {1, 2, verde} \ {rojo, blanco, verde} = {1, 2}
• {1, 2} \ {1, 2} = ∅
• Si U es el conjunto de números enteros, E es el conjunto de enteros pares, y O es el conjunto de números enteros impares, entonces el complemento de E en U es O, o equivalentemente, E '= O.

Algunas propiedades básicas de los complementos:

• A ∪ A '= U
• A ∩ A '= ∅
• (A ')' = A
• A \ A = ∅
• A \ B = A ∩ B '

Producto cartesiano

Un nuevo conjunto se puede construir mediante la asociación de cada elemento de un conjunto con todos los elementos de otro conjunto. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A × B es el conjunto de todos pares ordenados (a, b) tal que a es un miembro de A y B es un miembro de B.

Ejemplos:

• {1, 2} x {rojo, blanco} = {(1, rojo), (1, blanco), (2, rojo), (2, blanco)}
• {1, 2, verde} × {rojo, blanco, verde} = {(1, rojo), (1, blanco), (1, verde), (2, rojo), (2, blanco), (2, verde), (verde, rojo), (verde, blanco), (verde, verde)}
• {1, 2} x {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

Algunas propiedades básicas de los productos cartesianos:

• A × ∅ = ∅
• A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
• | A × B | = | A | × | B |

Aplicaciones

La teoría de conjuntos es visto como la fundación de la que prácticamente todas las matemáticas se pueden derivar. Por ejemplo, las estructuras en álgebra abstracta , como grupos , y campos anillos, son conjuntos cerrados bajo una o más operaciones.

Una de las principales aplicaciones de la teoría de conjuntos ingenua está construyendo las relaciones. Una relación de una Un dominio a una codominio B no es más que un subconjunto de A × B. Teniendo en cuenta este concepto, estamos prestos a ver que el conjunto F de todos los pares ordenados (x, x ^2), donde x es real, es muy familiar. Tiene un conjunto de dominio y estableció un codominio es también , Debido a que el conjunto de todos los cuadrados es subconjunto del conjunto de todos los números reales. Si se coloca en notación funcional, esta relación se convierte en f (x) = x ^2. La razón de estos dos son equivalentes es para cualquier valor dado, y que la función se define para, su correspondiente par ordenado, (y, y ²⁾ es un miembro del conjunto F.

Teoría axiomática de conjuntos

Aunque inicialmente el la teoría de conjuntos ingenua, que define un conjunto simplemente como cualquier colección bien definida, fue bien aceptada, pronto se encontró con varios obstáculos. Se encontró que dio lugar a esta definición varias paradojas, sobre todo:

• La paradoja de Russell - Muestra que el "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos", es decir, el "set" no existe.
• Paradoja de Cantor - Muestra que no puede existir "el conjunto de todos los conjuntos".

La razón es que la frase bien definida no es muy bien definido. Era importante para la teoría de conjuntos libre de estas paradojas, porque casi todas las matemáticas se están redefiniendo en términos de la teoría de conjuntos. En un intento de evitar estas paradojas, la teoría de conjuntos fue axiomatizada basado en lógica de primer orden , y por lo tanto la teoría axiomática de conjuntos nació.

Para la mayoría de los propósitos, sin embargo, la la teoría de conjuntos ingenua sigue siendo útil.

Realismo matemático

Penélope Maddy ha sugerido que los conjuntos pueden ser causalmente eficaces, y de hecho compartir toda la causal y propiedades espacio-temporales de sus elementos. Por lo tanto, cuando veo a las tres tazas sobre la mesa delante de mí, también veo la serie también. Ella utilizó el trabajo reciente en la ciencia cognitiva y la psicología para apoyar esta posición, señalando que, así como a una cierta edad, comenzamos a ver los objetos en lugar de meras percepciones sensoriales, también hay una cierta edad en la que empezamos a ver series en vez de sólo objetos.