Algorithme d'Euclide
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation. Il est déjà décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide.
Dans la tradition grecque, en comprenant un nombre entier comme une longueur, un couple d'entiers comme un rectangle, leur PGCD est la taille du plus grand carré permettant de carreler ce rectangle. L'algorithme décompose ce rectangle en carrés, de plus en plus petits, par divisions euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la largeur par le reste, jusqu'à un reste nul.
Cet algorithme repose sur la structure d'anneau euclidien de l'anneau 
des entiers relatifs, plus particulièrement sur la propriété de division euclidienne. Il se généralise donc à bien d'autres anneaux, en particulier les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps. L'algorithme se généralise pour permettre le calcul des coefficients de Bezout.
L'algorithme est effectif à condition de disposer d'un algorithme effectif de division euclidienne. La possibilité de disposer d'un tel algorithme rend de nombreux autres calculs effectifs, notamment, en algèbre linéaire, le calcul de facteurs invariants.
Sommaire |
[modifier] Remarque préliminaire
Puisque l'algorithme a pour objet le calcul d'un PGCD, il est possible de se restreindre aux entiers positifs, un PGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues.
[modifier] Description de l'algorithme
Soient deux entiers naturels a et b, dont on cherche le PGCD. Le cas où a ou b est nul ne nécessite aucun algorithme ; on l'exclut. Une suite d'entiers (an)n est définie par récurrence de pas 2, plus précisément par divisions euclidiennes successives ; la suite est initialisée par a0 = a,a1 = b, puis propagée par la règle de récurrence : tant que an + 1 est non nul, an + 2 est défini comme le reste de la division euclidienne de an par an + 1.
On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu'on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r, et on réapplique le procédé depuis le début.
On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le dernier reste non nul.
[modifier] Exemple
Calculons, par exemple, le pgcd de 1071 et 1029 (égal à 21) par cet algorithme avec les étapes suivantes :
| a | b | r |
|
|
||
| 1071 | 1029 | 42 |
| 1029 | 42 | 21 |
| 42 | 21 | 0 |
| 21 | 0 | |
[modifier] Pseudocode récursif
Fonction PGCD(a:nombre, b:nombre):nombre Si b=0 | alors PGCD=a Sinon | r egal au reste de la division (entière) de a par b | PGCD=PGCD(b, r) Finsi
[modifier] Algorithme en langage C
int pgcd(int m, int n) { if (n == 0) { return m; } else { return pgcd(n, m%n); } }
Ou, de manière plus concise :
int pgcd(int m, int n) { return n ? pgcd(n, m%n) : m; }
[modifier] Algorithme en langage PHP
function pgcd($a, $b) { for($c = $a % $b ; $c != 0 ; $c = $a % $b) { $a = $b; $b = $c; } return $b; }
Avec une fonction récursive, le code est plus simple :
function pgcd($a, $b) { if($a % $b==0) return $b; else return pgcd($b, $a % $b); }
[modifier] Remarque historique
Au début, Euclide a formulé le problème de façon géométrique : comment trouver une « unité de mesure » commune pour deux longueurs de segments. Il procède par soustractions répétées de la longueur du plus court segment sur la longueur du plus long. Cela correspond à une adaptation de la méthode naïve de calcul de la division euclidienne, telle que décrite dans l'article consacré.
[modifier] Démonstration de sa finitude et de son exactitude
La définition même de la suite (an) par division euclidienne montre que, pour tout n tel que an + 1 est non nul, il existe un entier qn + 2 tel que : 
avec de plus 
. La suite d'entiers naturels (an) est donc strictement décroissante, et donc vaut 0 à un certain rang. L'existence d'un dernier reste non nul est ainsi établie.
Soit N + 1 l'indice de ce dernier reste non nul. Il faut montrer que aN + 1 est bien le PGCD cherché. La relation précédente s'écrit donc ici 
, qui montre que aN + 1 divise aN. Ecrivant ensuite 
, on en déduit que aN + 1 divise aussi aN − 1 ; puis, de même, et par récurrence, que aN + 1 divise tous les termes de la suite an ; en particulier les premiers termes a et b. aN + 1 est donc bien un diviseur commun de a et b. Réciproquement, tout diviseur commun de a et b divisera aussi 
, et à nouveau par récurrence, divisera tous les termes de la suite (an) ; donc en particulier aN + 1.
aN + 1 est donc un diviseur commun de a et b que divise tout autre diviseur commun ; c'est bien le PGCD.
[modifier] Le théorème de Lamé
Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !En étudiant l'exécution de l'algorithme d'Euclide, il apparaît que les nombres qui exigent le plus d'étapes sont les nombres consécutifs de la suite de Fibonacci, et dans le pire des cas cela demande O(n) divisions, où n est le nombre de bits des nombres en entrée (voir la notation grand O).
[modifier] Algorithme étendu aux coefficients de Bézout
Article détaillé : Algorithme d'Euclide étendu.L'identité de Bézout assure l'existence de deux entiers u et v tels que : au + bv = aN + 1 = PGCD(a,b). L'algorithme d'Euclide convenablement adapté permet de calculer de tels coefficients.
[modifier] Description
Pour cela, on introduit deux suites (un) et (vn) telles que pour tout n, on ait la relation : aun + bvn = an. Si de telles suites existent, les termes uN + 1,vN + 1 constitueront une paire de coefficients de Bezout pour a et b.
On peut choisir u0 = 1,v0 = 0 puis u1 = 0,v1 = 1, puis la relation de récurrence de pas 2 entre les an montre :
an + 2 = an − qn + 2an + 1 = aun + bvn − qn + 2(aun + 1 + bvn + 1) = a(un − qn + 2un + 1) + b(vn − qn + 2vn + 1)
On peut ainsi définir (un) par la relation de récurrence de pas 2 : un + 2 = un − qn + 2un + 1 et l'initialisation précédente, et (vn) par vn + 2 = vn − qn + 2vn + 1 et l'initialisation précédente ; et on obtient bien la relation annoncée pour tout n.
[modifier] Commentaires
L'algorithme étendu s'implémente comme l'algorithme classique ; il suffit de rajouter des variables correspondant aux coefficients u et v à calculer, et de faire une multiplication et une soustraction supplémentaires, pour calculer chacun des deux nouveaux coefficients, à chaque étape.
[modifier] Fractions continues
Article détaillé : fraction continue.Les quotients successifs qui apparaissent quand l'algorithme d'Euclide est appliqué aux données a et b, sont précisément les nombres qui apparaissent dans la représentation sous forme de fraction continue de a/b. Considérons l'exemple de a = 1071 et b = 1029 utilisé ci-dessus.
Voici le calcul avec les quotients soulignés (successivement 1, 24 et 2):
- 1071 = 1029 × 1 + 42
- 1029 = 42 × 24 + 21
- 42 = 21 × 2 + 0
De cela on tire :
.
Dans l'égalité précédente, le second membre s'appelle la fraction continue ou continuée du quotient 1071/1029.
On peut en déduire les 3 approximations suivantes de la fraction, classées par ordre de précision croissante :
Cette méthode peut également être utilisée pour des nombres réels a et b ; comme dans le cas de deux entiers, la suite de quotients calculés représente la « décomposition en fraction continue » de a/b et fournit une suite d'approximations successives, de qualité croissante, du quotient a/b. Dans le cas où ce quotient est irrationnel, l'algorithme d'Euclide ne se termine pas et la suite des approximations obtenues est donc elle-même infinie !
nota : La décomposition en fraction continuée (et la série d'approximations successives correspondante) peut être appliquée, non seulement à un nombre réel quelconque, mais également à une fonction : cette démarche consiste à rechercher les approximants de Padé, dont on peut définir le principe comme suit : Au voisinage d'un point, le développement en série de Taylor d'une fonction donnée fournit un polynôme qui réalise une approximation de la fonction. Mais on peut également chercher une fraction rationnelle qui satisfasse les mêmes conditions que la partie polynômiale du développement de Taylor : l'égalité des dérivées de la fonction et de son approximation, jusqu'à un certain ordre donné.
La comparaison de ces deux types de développements permet de très intéressants développements (voir par exemple la démonstration de l'irrationalité de ζ(3)).
