Discuter:Argument de la diagonale de Cantor

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

àmha il faudrait changer la conclusion car le "a fortiori" est abusif : en effet il existe une bijection de [0 1] dans ex: x->Argth(2x-1) L'indénombrabilité de [0 1] équivaut donc à celle de contrairement à ce que semble indiquer le "a fortiori"

[0, 1] est un sous-ensemble de , je ne vois pas ou est le problème de dire que si [0, 1] n'est pas dénombrable à fortiori R ne l'est pas non plus (mais je considére à fortiori comme "à plus forte raisons ou égales"), sinon on peut remplacer par « l'intervalle [0, 1] n'est pas infini dénombrable donc ne l'est pas » phe 23 déc 2004 à 19:25 (CET)

Pourquoi ne pas parler de cardinalité au lieu de dire "P(S) est plus grand que S" ?

Bon article. J'ai unifié non-dénombrabilité, non dénombrabilité et indénombrabilité en non-dénombrabilité, etc. A mon avis l'article serait meilleur sans démarrer d'emblée par un raisonnement par l'absurde : ce qui est montré c'est, étant donné(e) une suites de réels, comment construire (je dis bien construire) un nombre réel qui n'est pas dans la suite. D'autre part, en plus du théorème de (l')arrêt, on pourra ajouter quelques mots menant a Classification de Baire car l'argument diagonal est aussi utilisé pour démontrer qu'il y a aleph₀ classes distinctes de Baire, et de même pour les classes de boréliens (cf Tribu borélienne). CD 19 jan 2005 à 21:44 (CET)

Changements faits, sauf allusion à "Classe de Baire". CD 3 fev 2005 à 21:21 (CET)

L'argument diagonal semble dû à Du Bois Reymond, qui l'a utilisé le premier en analyse. Source, Smorynski "Logical Number theory", puis google, pas trouvé de source directe.

J'ai l'habitude de dire et d'entendre argument diagonal et pas argument de la diagonale : quel est l'usage le plus courant ?

• "argument diagonal" indiscutablement. (Mais les deux titres sont justes)  <STyx @ 23 mai 2006 à 15:38 (CEST)

On devrait indiquer ce que montre la version "plus compréhensible" (pas de surjection de N dans P(N)). Proz 25 avril 2006 à 21:18 (CEST)

[modifier] caractère constructif

Réaction à la modification d'Ektoplastor (9 juillet 2007 17:57) : si on veut conserver l'aspect constructif du raisonnement pour les réels, il ne faut pas supposer que leur développement (décimal ou autre base) est propre : en entrée ça ne sert à rien, c'est seulement en sortie qu'il faut faire attention. Le réel diagonal dépend du développement "choisi" (en fait, dans un contexte calculatoire, celui que le calcul donne) ce qui peut surprendre mais n'est pas gênant. Plus généralement j'adhère à l'avis de CD ci-dessus, qui avait rédigé l'argument. On peut, comme il l'avait fait (j'avais ajouté la précision), passer la chose sous silence.

Par ailleurs les paragraphes sur le théorème de Cantor et la calculabilité ne sont plus en cohérence avec le début, faux même pour ce dernier à cause de ce qui précède (pour le reste je suis d'accord évidemment avec les indications historiques, et n'ai rien contre une exposition préliminaire sur les suites, cas plus simple, encore que les réels sont peut-être plus familiers). Proz 9 juillet 2007 à 19:25 (CEST)

L'article est devenu d'une part partiellement faux, d'autre part incohérent puisque les paragraphes que j'avais ajouté s'appuyaient sur la version antérieure. Après réflexion la version précédente me semble plus intéressante, et celle actuelle s'en déduit facilement. Je préfère donc revenir à une version antérieure également à mes interventions pour l'exposé de l'argument diagonal, qui avait l'avantage de la simplicité et de l'élégance. Je mettrai ce que j'avais ajouté en commentaires dans un paragraphe à part, de même que les considérations sur les suites. Proz 23 juillet 2007 à 21:28 (CEST)

Hormis les erreurs de notation, où vois-tu une erreur dans ma version (hormis les erreurs de notation) ?

Tout d'abord, je trouve que démontrer directement que l'ensemble R est non dénombrable est troublant. Pourquoi ? Parce que au final, on démontre ni plus ni moins que l'ensemble des suites de 0, 1, ..., 9 est non dénombrable ! Démontrer ce simple résultat est plus simple. Et si de plus, il est confirmé que Cantor s'est intéressé aux suites avec deux éléments, cela fournirait un argument de plus en ma faveur (approche historique, qu'il faudrait, dans la mesure du possible, privilégier).

Cohérence : dans la version actuelle ([1]), je ne vois vraiment aucune cohérence entre la partie 1 et la partie 2. Donc à toi de me l'expliquer ! (Excuse-moi si elle ne me parait pas clairement exposée, mais sincèrement, je ne la vois pas.)

Voilà comment moi je vois les choses : les parties de N se codent par des suites de 0 et de 1 (appartenance ou non de l'entier n dans l'ensemble considéré). Etant donné une suite A_n de parties de N, on lui associe la suite (u_n) de suites de 0 et de 1. On construit une suite w par la méthode exposée dans le premier paragraphe, et on lui adjoint la partie correspondante B de N. L'entier n appartient à B ssi il n'appartient pas à A_n : B est exactement l'ensemble des entiers n qui n'appartiennent pas à A_n. La construction dans le paragraphe 1 qui aurait donné pour les suites de 0 et de 1 se généralise pour les parties d'un ensemble infini S quelconque.

Dans ta présentation, il y a deux arguments de la diagonale qui me semblent présentés comme totalement différents ; ce qui n'est pas le cas dans la présentation que je souhaite proposer. Ekto - Plastor 24 juillet 2007 à 13:49 (CEST)

Si on y voit deux arguments différents de la diagonale ce n'est pas ce que j'ai souhaité. J'ai bien écrit que le raisonnement était le même pour les suites que pour les réels en plus simple, et que pour l'ensemble des parties de N, c'était identique aux suites de deux éléments. Sinon, j'avais cru expliquer le problème au dessus. J'essaye d'être plus clair. Je me sers explicitement dans le paragraphe sur la calculabilité de la présentation (qui elle n'est pas de moi, elle date essentiellement de 2005) pour dire que le raisonnement est constructif y compris pour les réels, (pas de problème pour les suites), et accessoirement que le réel diagonal est dans ]0,1[, d'où l'incohérence. Pour mettre les développements des décimaux sous forme propre, il faut savoir que ce sont des décimaux. Etant donné un réel calculable (disons que l'on peut engendrer le développement décimal aussi loin que l'on veut par un procédé mécanique), on ne peut pas nécessairement décider que c'est un décimal (théorème de Rice) et donc choisir le développement propre. Ton raisonnement qui choisit au départ le développement dit propre n'est donc plus constructif (le raisonnement que tu avais effacé l'était, et ce n'est pas par hasard, vu les commentaires de 2005 que tu as dans la page de discussion), donc le paragraphe sur la calculabilité devenait en partie faux (bien entendu cela reste correct pour ce que tu écris qui ne concerne que la non dénombrabilité). Par ailleurs je trouve la présentation antérieure élégante et concise mais finalement assez riche puisqu'elle traite de façon optimale les réels. Bien qu'il soit exact que sur le fond, et que je sois tout à fait au courant (et la personne qui l'avait rédigé très certainement également), qu'il s'agit d'un raisonnement sur les suites de chiffres, l'exposé fait d'abord comme si c'était le cas (j'avais fait l'erreur de vouloir tout de suite expliciter, mais j'ai déplacé ce que j'avais ajouté), donc n'est pas plus compliqué. D'autre part les développements décimaux me semblent plus familiers que les suites, et l'ensemble des réels que l'ensemble des parties de N, où l'ensemble des suites de 0 et de 1. Je trouve dommage de l'abandonner pour ta version, qui, comme tu le remarques toi-même, est finalement identique au raisonnement « imagé » dans le paragraphe qui suit. Il est bien exact que Cantor le rédige pour des suites de deux caractères, mais je ne suis pas pour privilégier en toute chose l'approche historique (la mentionner oui). Ces dernières objections ne sont pas de fond, il est toujours envisageable de présenter les choses autrement, mais pas en rendant l'article incohérent. Proz 24 juillet 2007 à 15:39 (CEST)

Je n'avais pas retouché le paragraphe Calculabilité. Si une erreur s'était introduite dans ce paragraphe, elle n'est certainement pas de moi.

Je trouve que la partie 1 juxtaposée à la partie 2 manque de cohérence, mais c'est certainement un avis personnel. Je pourrais proposer en septembre une autre version (sur une de mes sous-pages).

Le développement décimal d'un entier n'est pas quelque chose d'évident en soi car il repose sur la notion de limite en analyse. En particulier, lorsqu'on écrit 2,76etc, le etc n'a rien d'évident (calculabilité mise à part). La notion de suites est plus facilement accessible.

Je ne vois pas pourquoi on serait obligé de rédiger la partie 1 en vue de la partie 3. Tu peux au contraire retravailler la partie 3 en vue d'une éventuelle réécriture de la partie 1 (ce qui me semble plus logique). Tout cela dépend de choix rédactionnels.

Tu pourrais aussi ouvrir en remarquant que les suites standards appartiennent à un sous-ensemble fini. Dans l'IST, l'infini provient de l'existance d'elements non standards. On peut donc remarquer que, "en général", la suite obtenue sera non standard. On pourrait insérer des mises en garde sur les transferts illégaux par exemple. Enfin, il faudrait réfléchir sur la structure de l'article et la meilleure présentation possible des idées. Ma modification dont tu faisais référence n'avait pour principale motivation que d'améliorer la mise en page, souvent négligée dans les articles de Wikipédia. Ekto - Plastor 24 juillet 2007 à 16:20 (CEST)

J'ai bien vu que tu n'as pas retouché, ni à mon avis lu le § sur la calculabilité. Mais comme il fait référence au raisonnement du début, tu peux concevoir qu'en modifiant celui-ci il devienne faux par ricochet. Je suis bien-sûr d'accord sur le fait que la notion de suite est la plus primitive. On n'est pas obligé de rédiger une partie en vue d'une autre, mais quand c'est fait on ne pas modifier une partie sans en tenir compte. Pour ce qui est du raisonnement diagonal dans le cadre de l'analyse non standard ça me dépasse. Il ne faudrait sûrement pas en faire l'approche par défaut, mais s'il y a des choses intéressantes à dire sur le sujet qui concernent bien l'argument diagonal ... Il y a sinon d'autres choses à dire (par ex. hiérarchies de fonction de du Bois Reymond, voir aussi l'avis de l' Utilisateur:CD ci-dessus). Proz 24 juillet 2007 à 17:11 (CEST)