Automorphisme intérieur

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Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes.

Soit G un groupe et g un élément de G.

On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ι_g, l'automorphisme défini par :

$\forall x \in G \quad \iota_g(x)=g.x.g^{-1} \;$

Pour un groupe commutatif, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forment un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, isomorphe au quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Automorphisme intérieur
- 1.2 Sous-groupe normal
2 Groupe des automorphismes intérieurs
- 2.1 Groupe d'automorphisme d'un sous-groupe normal

[modifier] Définitions

[modifier] Automorphisme intérieur

Soit G un groupe, l'application de G dans G ι est dit automorphisme intérieur si et seulement si la propriété suivante est vérifiée :

$\exists g \in G \quad \forall x \in G \quad \iota(x)=gxg^{-1} \;$

On parle alors d'automorphisme intérieur par g, et l'on utilise parfois la notation ι_g.

On remarque qu'un automorphisme intérieur est un morphisme bijectif, en effet :

$\forall x, y \in G \quad \iota_g(xy)=gxyg^{-1}=(gxg^{-1}).(gyg^{-1})=\iota_g(x).\iota_g(y) \;$

Un calcul tout aussi direct donne :

$\iota_{gh}=\iota_g\circ\iota_h\;$

En particulier, ι_g est un automorphisme du groupe G, dont l'inverse est ι_g^-1.

Si g est un élément central de G (ie. un élément du centre Z(G) de G), l'automorphisme intérieur par g est l'identité. Plus généralement, l'ensemble des points fixes de ι_g est exactement le centralisateur de g.

Si x et y sont deux éléments de G tel que x est l'image de y par un automorphisme intérieur, alors x et y sont dits conjugués.

Remarque : Si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.

[modifier] Sous-groupe normal

Article détaillé : Sous-groupe normal.

Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs.

[modifier] Groupe des automorphismes intérieurs

L'application $\iota:g\mapsto\iota_g$ est un morphisme de groupes de G dans le groupe $A u t (G)$ des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de $A u t (G)$ , noté $I n t (G)$ . Par le lemme de factorisation, le morphisme surjectif $\iota:G\rightarrow Int(G)$ induit un isomorphisme :

$G/Z(G)\rightarrow Int(G)$ .

Si $φ$ est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, un calcul donne:

$\forall x\in G,\, \phi\iota_g\phi^{-1}(x)=\phi\left[g.\phi^{-1}(x).g^{-1}\right]=\phi(g).x.\phi(g)^{-1}$ , d'où :

φι g φ - 1 = ι φ(g)

Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur. De fait, $I n t (G)$ est un sous-groupe normal de $A u t (G)$ . Pour résumer, on dispose donc de la suite exacte suivante :

$1\rightarrow Z(G)\rightarrow G\rightarrow Int(G)\rightarrow Aut(G)\rightarrow Aut(G)/Int(G)\rightarrow 1$

[modifier] Groupe d'automorphisme d'un sous-groupe normal

Avec les notations ci-dessus, si H est un sous-groupe normal de G, tout automorphisme intérieur de G se restreint en un automorphisme de H. D'où un morphisme de groupes éventuellement surjectif $Int (G)\rightarrow Aut (H)$ . La surjectivité est espérée pour déterminer le groupe des automorphismes de H.