Calcul de la racine n-ième d'un nombre

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La racine n-ième (ou, rarement, racine énième) d'un nombre $\sqrt[n]{A}$ d'un nombre réel positif A est la solution positive de l'équation $x n = A$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ .

Pour un entier n, il y a n solutions complexes distinctes pour cette équation si $A > 0$ , mais une seule est réelle et positive.

Il s'agit en fait de calculer :

$A^{1/n} = \exp \left (\frac{1}{n} \ln A \right )$ .

(ce qui découle de la relation exprimant un nombre strictement positif élevé à une puissance quelconque :

si $a > 0$ et $\quad x \in \mathbb R$ alors $a^b = \exp \left (b. \ln a \right )$ )

Il existe une suite mathématique qui converge très rapidement, et permet de trouver $\sqrt[n]{A}$ :

Soit $x 0$ un nombre de départ ;
Calculer la suite récurrente $x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$ jusqu'à obtenir la précision voulue.

Par exemple, pour calculer la racine carrée, on remplace $n$ par 2 :

$x_{k+1} = \frac{1}{2}\left(x_k + \frac{A}{x_k}\right)$

Pour de grands n cependant, la méthode est bien moins efficace, puisqu'elle demande le calcul de $x_k^n$ à chaque itération de la suite.

Sommaire

1 Parité et nombre complexe
2 Explication à partir de la méthode de Newton
3 Nombres négatifs
4 Liens internes

[modifier] Parité et nombre complexe

La solution de $x n = A$ est un nombre réel si x est positif ou si n est impair.

Si x est négatif et que n est pair, la solution est un nombre complexe non réel.

[modifier] Explication à partir de la méthode de Newton

Soit $x 0$ un nombre de départ et soit $f (x) = x n - A$ une fonction de $\mathbb{R}^*_+$ dans $\mathbb{R}$ ;
Calculer la suite récurrente $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ jusqu'à atteindre la précision voulue.

En effet, la recherche d'une racine nième peut être ramenée à la recherche du zéro de la fonction $f (x) = x n - A$ , dont la dérivée est $f^\prime(x) = n x^{n-1}$ et la règle d'itération :

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}} = x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$

[modifier] Nombres négatifs

Dans le cas où A est négatif, sa racine n-ième est alors la solution réelle (négative) de cette même équation (x ⁿ = A).

Dans le cas où n est pair, cette solution n'existe pas !

Dans le cas contraire, cela revient à calculer $-\sqrt[n]{-A}$ . Dans ce cas, -A est positif (puisque A est négatif) et on peut calculer $\sqrt[n]{-A}$ avec la méthode décrite ci-dessus.