Construction à la règle seule

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Des points de base étant donnés, un point est constructible à la règle s'il est point d'intersection de deux droites, chacune de ces deux droites passant par deux points qui sont des points de base ou des points déjà construits. Les propriétés d'une figure constructible sont conservées par projection centrale. Ce n'est pas le cas pour les milieux, les parallèles ou les symétries. Il est démontré qu'il est impossible avec une règle seulement de construire le milieu d'un segment, de mener par un point une parallèle à une droite.

D'après l'ouvrage de Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001 ; où l'on trouvera les démonstrations.

Les figures de la géométrie projective : quadrilatère complet, polaire, théorèmes de Pappus et Desargues sont constructibles à la règle seule.

[modifier] Symétrique d'un point par rapport à une droite

On donne une droite (d), les points A et B non situés sur (d), ainsi que le point A' symétrique de A par rapport à (d).

Construire le point B' symétrique de B par rapport à (d), en utilisant la règle seule.

Solution

La droite (AB) coupe (d) en I, (A'B) en J. Les droites (IA') et (JA) se coupent en B'. La droite (IA) a pour symétrique (IA'), la droite (JA') a pour symétrique (JA).

Le point B, intersection de (IA) et (JA') a pour symétrique l'intersection des images (IA') et (JA), soit le point B.

Remarques : cette solution nécessite que les droites (AB) et (AB') ne soient pas parallèles à (d).

La construction permet aussi de trouver la perpendiculaire abaissée du point B sur la droite (d) : la droite (BB').

[modifier] Tracé d'une droite parallèle à deux droites (d) et (d') parallèles

On donne deux droites parallèles distinctes (d) et (d') et un point P.

Construire la droite parallèle à (d) et (d') passant par le point P, en n'utilisant que la règle.

P entre les deux droites

P à l'extérieur des deux droites

Solution

Méthode du faisceau de droites passant par un point I de la polaire du point P par rapport à (d) et (d').

A partir de deux points A et B différents sur (d), tracer deux sécantes (AA') et (BB') passant par P avec A' et B' sur (d'). Soit I le point d'intersection des droites (AB') et (BA').

Placer un point C, distinct de A et B, sur (d) et soit C' l'intersection de (IC) avec (d'). Les droites (BC') et (CA') se coupent en Q.

La droite (PQ) parallèle à (d) et (d') est construite à la règle seule.

Remarques : si le point P est équidistant de (d) et (d'), les droites (AB') et (BA') sont parallèles et leur intersection est vide. Il faut tracer une autre parallèle : pourquoi pas la parallèle à (AB') et (BA') passant par C, point de (d) à l'extérieur du segment [AB]. Cette parallèle coupe (d') en C'. Le centre Q du parallélogramme BCC'B' permet de trouver la parallèle (PQ).

Avec la règle à bords parallèles seule, cette méthode permet de construire la parallèle à une droite donnée passant par un point donné : en plaçant un des bords sur la droite donnée (d), le deuxième bord permet de tracer (d'). Terminer la construction de la parallèle (PQ) passant par le point donné P comme ci-dessus.

[modifier] Perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite

Étant donné un cercle de diamètre [AB] et un point P situé ni sur le cercle, ni sur la droite (AB), tracer, uniquement avec une règle non graduée, la perpendiculaire à (AB) issue de P.

Solution

Les droites (PA) et (PB) recoupent le cercle en R et S. Les droites (AS) et (BR) se coupent en K. La droite (PK) perpendiculaire à (AB) a été construite uniquement à la règle.

Démonstration

Les triangles ARB et ASB, inscrits dans les demi-cercles de diamètre [AB], sont rectangles et les angles ARK et ASP sont droits. Le point B, intersection de deux hauteurs (KR) et (PS) est l'orthocentre du triangle APK. Le côté (PK) est perpendiculaire à la droite (AB), troisième hauteur issue de A.

Théorème de Poncelet-Steiner : en se donnant un cercle et son centre, avec uniquement une règle, on peut construire tout point constructible à la règle et au compas, c'est-à-dire qu'on a la structure euclidienne.

Voir aussi : Construction avec la règle à bords parallèles