División (matemáticas)

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Antecedentes

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En matemáticas , especialmente en elemental aritmética , la división es una operación aritmética que es el inverso de la multiplicación .

En concreto, si c veces b es igual a, por escrito:

$c \ épocas b = a \,$

donde b no es cero , entonces un dividido por b es igual a c, escrito:

$\ frac ab = c$

Por ejemplo,

$\ Frac 63 = 2$

desde

$2 \ veces 3 = 6 \,$ .

En la expresión anterior, una se llama el dividendo, el divisor b y c el cociente.

División por cero (es decir, cuando el divisor es cero) no está definido.

Notación

División se muestra más a menudo colocando el dividendo por encima del divisor con una línea horizontal, también llamado vinculum, entre ellos. Por ejemplo, a dividido por b se escribe

$\ Frac ab.$

Esto se puede leer en voz alta como "dividido por b" o "a sobre b". Una manera de expresar la división en una sola línea es escribir el dividendo, a continuación, un barra, entonces el divisor, como esto:

$una b. \,$

Esta es la forma habitual para especificar la división en la mayoría de ordenador lenguajes de programación , ya que fácilmente se puede escribir como una simple secuencia de caracteres.

Una variación tipográfica, que está a medio camino entre estas dos formas, utiliza un solidus (fracción de barra), pero eleva el dividendo, y baja el divisor:

^una _b.

Cualquiera de estas formas se puede utilizar para mostrar una fracción . Una fracción es una expresión de la división donde tanto dividendo y el divisor son números enteros (aunque normalmente llamado el numerador y el denominador), y no hay ninguna implicación de que la división debe ser evaluado más.

Una forma menos común a mostrar la división es utilizar el obelus (o signo de división) de esta manera:

$un \ div b.$

Esta forma es poco frecuente, excepto en la aritmética elemental. El obelus también se utiliza solo para representar la operación de división en sí, como por ejemplo, como una etiqueta en una tecla de un calculador .

En algunos no inglés culturas -hablando ", un dividido por b" se escribe a: b. Sin embargo, en el uso del Inglés de colon se limita a expresar el concepto relacionado de ratios (luego "a es ab").

División de Computación

Una persona que conoce la tablas de multiplicar se pueden dividir dos números enteros utilizando lápiz y papel y el método de división larga. Si el dividendo tiene un fraccional parte (expresada como fracción decimal ), podemos continuar el algoritmo pasado los colocan en lo que se desea. Si el divisor tiene una parte fraccionaria, podemos reformular el problema moviendo el decimal a la derecha en ambos números hasta que el divisor no tiene ninguna fracción.

Las computadoras modernas calculan división por métodos que son más rápidos que la división larga: ver División (digital).

Una persona puede calculute división con un ábaco colocando varias veces el dividendo en el ábaco, y luego restando el divisor el desplazamiento de cada dígito en el resultado, contando el número de divisiones posibles en cada desplazamiento.

En la aritmética modular , algunos números tienen una inverso multiplicativo con respecto al módulo. Podemos calcular la división por multiplicación en tal caso. Este enfoque es útil en equipos que no tienen una instrucción de división rápida.

Algoritmo de la división

La algoritmo de la división es un teorema en matemáticas que expresa precisamente el resultado del proceso usual de división de números enteros. En particular, el teorema afirma que los enteros llamado q cociente y el resto r siempre existe y que se determinan únicamente por el dividendo y un divisor d, con d ≠ 0. Formalmente, el teorema se indica como sigue: Existen enteros única q y r tales que a = qd + r y 0 ≤ r <| d |, donde | d | denota el valor absoluto de d.

División de números enteros

División de números enteros no es cerrada. Aparte de la división por cero está definido, el cociente no será un número entero a menos que el dividendo es un múltiplo entero del divisor; por ejemplo, 26 no se puede dividir por 10 para dar un número entero. En tal caso hay cuatro enfoques posibles.

Decir que el 26 no se puede dividir por 10; división se convierte en una función parcial.
Da la respuesta como una fracción decimal o un número mixto , por lo $\ Frac {26} {10} = 2,6$ o $26/10 = 2 \ frac 35$ . Este es el enfoque general adoptado en matemáticas.
Da la respuesta como un entero cociente y una resto, por lo $\ Frac {26} {10} = 2$ resto 6.
Dar el cociente entero como la respuesta, por lo que $\ Frac {26} {10} = 2$ . Esto a veces se llama la división entera.

Uno tiene que tener cuidado al realizar la división de enteros en un programa de computadora. Algunos lenguajes de programación , como C , se tratan a la división de números enteros como en el caso 4 arriba, así que la respuesta será un entero. Otros idiomas, como el MATLAB, convertirá en primer lugar los números enteros a los números reales, y luego dar un número real como la respuesta, como en el caso 2 anterior.

Los nombres y símbolos utilizados para la división entera incluyen div, /, \, y%. Definiciones variar con respecto a la división entera cuando el cociente es negativo: redondeo pueden ser hacia cero o hacia menos infinito .

Reglas de divisibilidad a veces se pueden utilizar para determinar rápidamente si un entero divide exactamente en otro.

División de números racionales

El resultado de dividir dos números racionales es otro número racional cuando el divisor no es 0. Podemos definir la división de dos números racionales p / q y r / s por

${P / q \ over r / s} = {p \ over q} \ épocas {s \ más de r} = {ps \ sobre qr}.$

Todos los cuatro cantidades son números enteros, p y sólo pueden ser 0. Esta definición asegura que la división es la operación inversa de la multiplicación .

División de números reales

División de dos números reales resultados en otro número real cuando el divisor no es 0. Se define a / b = c tal si y sólo si a = cb y b ≠ 0.

División de números complejos

La división de dos números complejos resultados en otro número complejo cuando el divisor no es 0, se define así:

${Es p + iq \ over r +} = {qs pr + \ over r ^ 2 + s ^ 2} + i {qr - ps \ over r ^ 2 + s ^ 2}.$

Las cuatro cantidades son números reales. R y s no pueden ser ambos 0.

División de números complejos expresados en forma polar es más simple que la anterior definición:

${Pe ^ {iq} \ over re ^ {es}} = {p \ over r} e ^ {i (q - s)}.$

Una vez más los cuatro cantidades son números reales. R no puede ser 0.

División de polinomios

Uno puede definir la operación de división de polinomios . Entonces, como en el caso de números enteros, uno tiene un resto. Ver división larga polinómica.

División de matrices

Uno puede definir una operación de división para las matrices. La manera habitual de hacer esto es definir A / B = ^AB-1, donde B ^-1 indica la inversa de B, pero es mucho más común que escribir ^{AB-1 (o} B ^-1 A) de forma explícita para evitar confusiones.

Izquierda y derecha división

Debido a la multiplicación de matrices no es conmutativa , también se puede definir un división o la llamada barra invertida división izquierda como A \ B = A ^-1 B. Para que esto sea bien definido, B ^-1 no existe necesidad, sin embargo A ^-1 tiene por qué existir. Para evitar confusión, división según la definición de A / B = AB ^-1 a veces se llama división derecha o roza división en este contexto.

Tenga en cuenta que con la división de la izquierda y la derecha se define de esta manera, A / (BC) en general no es lo mismo que (A / B) / C y tampoco es (AB) \ C, el mismo que A \ (B \ C), pero A / (BC) = (A / C) / B y (AB) \ C = B \ (A \ C).

División Matrix y pseudoinversa

Para evitar problemas cuando A ^-1 y / o B ^-1 no existen, división también se puede definir como la multiplicación con el pseudoinversa, es decir, A / B = AB ⁺ y A \ B = A ⁺ B, donde A ⁺ y B ⁺ denotan la pseudoinversa de A y B.

División en álgebra abstracta

En álgebras abstractas tales como la matriz y álgebras álgebra de cuaterniones, fracciones como ${A \ over b}$ normalmente se definen como $a \ cdot {1 \ over b}$ o $a \ cdot b ^ {- 1}$ donde $b$ se presume que es un elemento invertible (es decir, existe un inverso multiplicativo $b ^ {- 1}$ de tal manera que $bb ^ {- 1} = b ^ {- 1} b = 1$ donde $1$ es la identidad multiplicativa). En una dominio de integridad en los que tales elementos pueden no existir, la división todavía se pueden realizar en ecuaciones de la forma $ab = ac$ o $ba = ca$ por cancelación de izquierda o derecha, respectivamente. De forma más general "división" en el sentido de "cancelación" se puede hacer en cualquier sonar con las propiedades de cancelación mencionadas anteriormente. Si tal anillo es finito, luego por una aplicación de la pigeonhole principio, cada elemento distinto de cero del anillo es invertible, por lo que la división por cualquier elemento distinto de cero es posible en tal anillo. Para aprender acerca de cuándo álgebras (en el sentido técnico) tienen una operación de división, consulte la página en álgebras de división. En particular Bott periodicidad puede ser utilizado para mostrar que cualquier verdadero normado álgebra de división debe ser isomorfo a cualquiera de los números reales R, el número complejo C, la cuaterniones H, o el octoniones S.