La física matemática

La física matemática es la disciplina científica relacionada con la interfaz de las matemáticas y la física . No existe un consenso real sobre lo que hace o no constituye la física matemática. Una definición muy típico es la dada por el Diario de Física Matemática: "la aplicación de las matemáticas a los problemas de la física y el desarrollo de métodos matemáticos adecuados para tales aplicaciones y para la formulación de la física teórica | teorías físicas. "

Esta definición, sin embargo, no cubre la situación en la que se utilizan los resultados de la física para ayudar a probar los hechos en abstractas matemáticas que ellos mismos tienen nada especial que ver con la física . Este fenómeno se ha vuelto cada vez más importante, con la evolución de la teoría de cuerdas investigación abriendo nuevos caminos en las matemáticas . Eric Zaslow acuñó el physmatics frase para describir estos acontecimientos, aunque otras personas considerarían como parte de la física matemática adecuada.

Campos importantes de la investigación en la física matemática incluyen: análisis funcional / física cuántica , geometría / la relatividad general y la combinatoria / teoría de la probabilidad / la física estadística. Más recientemente, la teoría de cuerdas ha logrado hacer contacto con muchos grandes ramas de las matemáticas incluyendo geometría algebraica, topología , y geometría compleja.

Alcance de la asignatura

Hay varias ramas distintas de la física matemática, y estos corresponden aproximadamente a períodos históricos particulares. La teoría de las ecuaciones diferenciales parciales (y las áreas relacionadas de cálculo variacional , Análisis de Fourier, la teoría del potencial, y el análisis vectorial ) son quizás lo más estrechamente relacionados con la física matemática. Estos se desarrollaron intensamente desde la segunda mitad del siglo XVIII (mediante, por ejemplo, D'Alembert, Euler y Lagrange ) hasta la década de 1930. Aplicaciones físicas de estos desarrollos incluyen hidrodinámica, la mecánica celeste, teoría de la elasticidad, acústica, termodinámica , electricidad , magnetismo , y aerodinámica.

La teoría de los espectros atómicos (y, más tarde, la mecánica cuántica ) desarrolló casi simultáneamente con los campos matemáticos de álgebra lineal , la teoría espectral de operadores, y en términos más generales, análisis funcional. Estos constituyen la base matemática de otra rama de la física matemática.

Las especiales y generales teorías de la relatividad requieren un tipo muy diferente de las matemáticas . Esta fue la teoría de grupos , y jugó un papel importante tanto en la teoría cuántica de campos y la geometría diferencial . Este fue, sin embargo, complementado poco a poco por la topología en la descripción matemática de cosmológica , así como la teoría cuántica de campos fenómenos.

La mecánica estadística constituye un campo independiente, que está estrechamente relacionado con el más matemático teoría ergódica y algunas partes de la teoría de probabilidades .

El uso de 'Física matemática' el término a veces es idiosincrásico. Ciertas partes de las matemáticas que inicialmente surgieron desde el desarrollo de la física no se consideran partes de la física matemática, mientras que otros sectores estrechamente relacionados son. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales ordinarias y geometría simpléctica se ve generalmente como disciplinas puramente matemáticos, mientras que sistemas dinámicos y Mecánica hamiltoniana pertenecen a la física matemática.

Físicos matemáticos destacados

El gran siglo XVII Inglés el físico y matemático Isaac Newton [1642-1727] ha desarrollado una gran cantidad de nuevas matemáticas (por ejemplo, el cálculo y varios métodos numéricos (especialmente el método de Newton )) para resolver problemas en la física . Otro importante matemático físicos del siglo XVII incluyen el holandés Christiaan Huygens [1629-1695] (famoso por lo que sugiere la teoría ondulatoria de la luz), y el alemán Johannes Kepler [1571-1630] ( Ayudante de Tycho Brahe, y descubridor de las ecuaciones de movimiento planetario / órbita).

En el siglo XVIII, dos de los grandes innovadores de la física matemática eran suizos: Daniel Bernoulli [1700-1782] (para las contribuciones a la dinámica de fluidos, y cuerdas vibrantes), y, más especialmente, Leonhard Euler [1707-1783], (por su trabajo en el cálculo variacional , dinámica, dinámica de fluidos, y muchas otras cosas). Otro contribuyente notable fue la de origen italiano francés, Joseph-Louis Lagrange [1736-1813] (por su trabajo en la mecánica y los métodos variacionales).

A finales del siglo XVIII y principios del XIX, importantes figuras francesas fueron Pierre-Simon Laplace [1749-1827] (en matemática astronomía , la teoría del potencial, y mecánica) y Siméon Denis Poisson [1781-1840] (que también trabajó en mecánica y la teoría del potencial). En Alemania , tanto Carl Friedrich Gauss [1777-1855] (en el magnetismo ) y Carl Gustav Jacobi [1804-1851] (en las áreas de dinámica y transformaciones canónicas) hizo contribuciones fundamentales a los fundamentos teóricos de la electricidad , el magnetismo , mecánica, y dinámica de fluidos.

Gauss (junto con Euler ) es considerado por muchos como uno de los tres más grandes matemáticos de todos los tiempos. Sus contribuciones a la geometría no euclidiana sentó las bases para el posterior desarrollo de La geometría de Riemann por Bernhard Riemann [1826-1866]. Como veremos más adelante, este trabajo está en el corazón de la relatividad general .

El siglo XIX también vio el escocés, James Clerk Maxwell [1831-1879], ganar renombre por sus cuatro ecuaciones del electromagnetismo , y su compatriota, Lord Kelvin [1824-1907] hacer descubrimientos importantes en la termodinámica . Entre la comunidad de físicos Inglés, Lord Rayleigh [1842-1919] trabajó en sonido ; y George Gabriel Stokes [1819-1903] fue un líder en óptica y dinámica de fluidos; mientras que el irlandés William Rowan Hamilton [1805-1865] se destacó por su trabajo en dinámica. El alemán Hermann von Helmholtz [1821-1894] es mejor recordado por su trabajo en las áreas de electromagnetismo , ondas, líquidos y sonido . En los EE.UU., el trabajo pionero de Josiah Willard Gibbs [1839-1903] se convirtió en la base de la mecánica estadística . Juntos, estos hombres sentaron las bases de la teoría electromagnética , dinámica de fluidos y la mecánica estadística .

El los primeros siglos XIX al XX tarde y vio el nacimiento de la relatividad especial . Esto había sido anticipado en las obras del holandés, Hendrik Lorentz [1852-1928], con importantes conocimientos de Jules-Henri Poincaré [1854-1912], pero que fueron traídos a la plena claridad por Albert Einstein [1879-1955]. Einstein desarrolló el enfoque invariante más para llegar a la aproximación geométrica notable a la física gravitacional encarnado en la relatividad general . Esto se basó en el geometría no euclidiana creado por Gauss y Riemann en el siglo anterior.

Einstein 's relatividad especial sustituyó a la Transformaciones de Galileo de espacio y tiempo con Transformaciones de Lorentz en cuatro dimensiones Minkowski espacio-tiempo. Su teoría de la relatividad general sustituyó a la plana geometría euclidiana con la de un Variedad de Riemann, cuya curvatura está determinada por la distribución de la materia gravitacional. Esto sustituye Newton 's fuerza gravitacional escalar por la Riemann tensor de curvatura.

El otro gran desarrollo revolucionario del siglo XX ha sido la teoría cuántica, que emergió de las contribuciones seminales de Max Planck [1856-1947] (en la radiación del cuerpo negro) y Einstein trabajo 's en el efecto fotoeléctrico. Esta era, en primer lugar, seguido por un marco heurístico ideado por Arnold Sommerfeld [1868-1951] y Niels Bohr [1885-1962], pero pronto fue sustituido por los mecánica cuántica desarrolladas por Max Born [1882-1970], Werner Heisenberg [1901-1976], Paul Dirac [1902-1984], Erwin Schrodinger [1887-1961], y Wolfgang Pauli [1900-1958]. Este marco teórico revolucionario se basa en una interpretación probabilística de los estados, y la evolución y las medidas en términos de operadores autoadjunto en un espacio infinito dimensional vector ( Espacio de Hilbert, introducido por David Hilbert [1862-1943]). Paul Dirac , por ejemplo, utilizó construcciones algebraicas para producir un modelo relativista para el electrón , predecir su momento magnético y la existencia de su antipartícula, el positrones.

Posteriormente importantes contribuyentes a la física matemática del siglo XX incluyen Satyendra Nath Bose [1894-1974], Julian Schwinger [1918-1994], Shin'ichirō Tomonaga [1906-1979], Richard Feynman [1918-1988], Freeman Dyson [1923-], Hideki Yukawa [1907-1981], Roger Penrose [1931-], Stephen Hawking [1942-], y Edward Witten [1951-].

La física matemática rigurosa

El término de la física 'matemática' también se utiliza a veces en un sentido especial, para distinguir la investigación dirigida a estudiar y resolver problemas inspirados en la física dentro de un matemáticamente riguroso marco. La física matemática en este sentido abarca una amplia área de temas con la característica común de que se mezclan puras matemáticas y la física . Aunque relacionada con la física teórica, la física 'matemática' en este sentido destaca la matemática el rigor del mismo tipo que se encuentra en las matemáticas. Por otro lado, la física teórica enfatiza los vínculos con las observaciones y la física experimental que a menudo requiere físicos teóricos (y físicos matemáticos en el sentido más general) para utilizar heurística, argumentos intuitivos, y aproximadas. Tales argumentos no son considerados rigurosa por los matemáticos. Podría decirse que la física matemática rigurosa está más cerca de las matemáticas y la física teórica se acerca más a la física.

Tales físicos matemáticos se expanden principalmente y elucidar física teorías. Debido a la rigurosidad requerida, estos investigadores tratan a menudo con preguntas que los físicos teóricos han considerado que ya está resuelto. Sin embargo, a veces pueden mostrar (pero tampoco comúnmente ni fácilmente) que la solución anterior era incorrecta.

El campo se ha centrado en tres áreas principales: (1) la teoría cuántica de campos , especialmente la construcción precisa de modelos; (2) la mecánica estadística , especialmente la teoría de transiciones de fase; y (3) la mecánica cuántica no relativista ( Schrödinger operadores), incluyendo las conexiones a la física atómica y molecular.

El esfuerzo para poner las teorías físicas sobre una base matemática rigurosa ha inspirado a muchos desarrollos matemáticos. Por ejemplo, el desarrollo de la mecánica cuántica y algunos aspectos de análisis funcional paralela entre sí de muchas maneras. El estudio matemático de la mecánica estadística cuántica ha motivado resultados en álgebras de operadores. El intento de construir una teoría rigurosa campo cuántico ha permitido avances en campos como la teoría de la representación. El uso de la geometría y la topología juega un papel importante en la teoría de cuerdas . Los anteriores son sólo algunos ejemplos. Un examen de la literatura de investigación actual sería, sin duda, dará otras instancias.