A teoria do caos

A trama do Lorenz atractor para valores de r = 28, σ = 10, b = 8/3

Em matemática e física , a teoria do caos descreve o comportamento de certos não-linear sistemas dinâmicos que podem apresentar dinâmicas que são altamente sensíveis às condições iniciais (popularmente conhecido como o efeito borboleta). Como um resultado desta sensibilidade, que se manifesta como um crescimento exponencial de perturbações nas condições iniciais, o comportamento de sistemas caóticos parece ser aleatória. Isso acontece mesmo que estes sistemas são determinística, o que significa que suas dinâmicas futuras estão totalmente definidos por suas condições iniciais, sem elementos aleatórios envolvidos. Este comportamento é conhecido como caos determinista, ou simplesmente caos.

Visão global

O comportamento caótico tem sido observado em laboratório em uma variedade de sistemas, incluindo circuitos elétricos, lasers , oscilando reações químicas , dinâmica de fluidos, e os dispositivos mecânicos e magneto-mecânica. Observações de comportamento caótico na natureza incluem a dinâmica de satélites no sistema solar , a evolução temporal da campo magnético de corpos celestes, crescimento da população em ecologia , a dinâmica dos potenciais de ação nos neurônios, e vibrações moleculares. Exemplos cotidianos de sistemas caóticos incluem tempo e do clima . Há alguma controvérsia sobre a existência de dinâmica caótica nas placas tectônicas e na economia .

Sistemas que exibem o caos matemático são determinista e, portanto, ordenado em algum sentido; este uso técnico da palavra caos está em desacordo com linguagem comum, o que sugere completa desordem. Um campo relacionado da física chamado sistemas estudos teoria do caos do quantum que seguem as leis da mecânica quântica . Recentemente, um outro domínio, denominado caos relativista, surgiu para descrever sistemas que seguem as leis da relatividade geral .

Bem como ser ordenada no sentido de ser determinístico, sistemas caóticos geralmente têm bem definidas as estatísticas . Por exemplo, a Sistema de Lorenz retratado é caótico, mas tem uma estrutura claramente definida. Caos Limitada é um termo útil para descrever modelos de desordem.

História

Fractal samambaia criada usando jogo de caos. Formas naturais (samambaias, nuvens, montanhas, etc.) pode ser recriado através de uma Sistema iterado da função (IFS).

O primeiro descobridor do caos pode ser plausivelmente argumentado que ser Jacques Hadamard, que em 1898 publicou um estudo influente do movimento caótico de uma partícula livre deslizamento frictionlessly em uma superfície de curvatura negativa constante. No sistema estudado, Bilhar de Hadamard, Hadamard foi capaz de mostrar que todas as trajectórias são instáveis, em que todas as trajectórias das partículas exponencialmente divergem uma da outra, com uma positiva Expoente de Lyapunov.

No início dos anos 1900 Henri Poincaré, enquanto estudava o problema dos três corpos, descobriu que não pode haver órbitas que são não-periódica, e ainda não para sempre crescente, nem se aproxima de um ponto fixo. Grande parte da teoria inicial foi desenvolvido quase inteiramente por matemáticos, sob o nome de teoria ergódica. Estudos posteriores, também sobre o tema das equações diferenciais não-lineares, foram realizadas por GD Birkhoff, AN Kolmogorov, ML Cartwright, JE Littlewood, e Stephen Smale. Com exceção de Smale, esses estudos foram todos inspirados diretamente pela física: o problema dos três corpos no caso de Birkhoff, turbulência e problemas astronômicos no caso de Kolmogorov, e engenharia de rádio no caso de Cartwright e Littlewood. Embora o movimento planetário caótico não tinha sido observado, experimentalistas tinha encontrado turbulência no movimento fluido e oscilação não periódica nos circuitos de rádio sem o benefício de uma teoria para explicar o que estavam vendo.

Apesar idéias iniciais na primeira metade do século, teoria do caos se formalizou como tal, só depois de meados do século, quando se tornou evidente pela primeira vez para alguns cientistas que teoria linear, a teoria do sistema vigente até então, simplesmente não conseguia explicar o comportamento observado de determinadas experiências como a do mapa logístico. O que tinha sido previamente excluídos como medir a imprecisão e simples " ruído "foi considerado por teorias do caos como um componente integral dos sistemas estudados.

O principal catalisador para o desenvolvimento da teoria do caos foi o eletrônico computador . Grande parte da matemática da teoria do caos envolve a iteração repetida de fórmulas matemáticas simples, o que seria impraticável para fazer à mão. Computadores eletrônicos feitos esses cálculos repetidos prática, enquanto as figuras e imagens, foi possível visualizar estes sistemas. Um dos primeiros computadores eletrônicos digitais, ENIAC, foi usado para executar modelos de previsão de tempo simples.

A turbulência no ponta de um vórtice asa de avião. Estudos da ponto crítico além do qual um sistema cria turbulência foi importante para a teoria do caos, analisadas por exemplo, pelo físico soviético Lev Landau, que desenvolveu o Teoria de Landau-Hopf de turbulência. David Ruelle e Floris Takens posterior previsto, contra Landau, que a turbulência do fluido pode desenvolver através de um atrator estranho, um conceito principal da teoria do caos.

Um dos pioneiros da teoria era Edward Lorenz cujo interesse no caos surgiu acidentalmente através de seu trabalho na previsão do tempo em 1961 . Lorenz estava usando uma câmera digital simples computador , um Real McBee LGP-30, a correr a sua simulação de tempo. Ele queria ver uma seqüência de dados novamente e para economizar tempo, ele começou a simulação no meio do seu curso. Ele foi capaz de fazê-lo introduzindo uma cópia impressa dos dados correspondentes às condições no meio de sua simulação que ele tinha calculado última vez.

Para sua surpresa, o tempo que a máquina começou a prever era completamente diferente do tempo calculado antes. Lorenz rastreados esse baixo para a impressão do computador. O computador trabalhou com precisão de 6 dígitos, mas a impressão arredondado variáveis fora de um número de 3 dígitos, por isso, um valor como 0,506127 foi impresso como 0,506. Esta diferença é pequena eo consenso na época teria sido que ele deve ter tido praticamente nenhum efeito. No entanto Lorenz havia descoberto que pequenas mudanças nas condições iniciais produziram grandes mudanças no resultado a longo prazo. A descoberta de Lorenz, que deu seu nome a Atratores de Lorenz, provou que a meteorologia não podia razoavelmente prever o tempo para além de um período semanal (no máximo).

No ano anterior, Benoit Mandelbrot descobriu padrões recorrentes em qualquer escala e em dados sobre os preços do algodão. Antes disso, ele tinha estudado teoria da informação e concluiu ruído foi modelado como uma Cantor set: períodos em qualquer escala a proporção de períodos contendo ruído livre de erros era um constant-- assim erros foram inevitáveis e devem ser planejadas para, incorporando redundância. Mandelbrot descrito tanto o Efeito Noah (na qual súbitas mudanças descontínuas pode ocorrer, por exemplo, dos preços de um banco após a má notícia, portanto, um desafio distribuição normal teoria em estatísticas , também conhecido como curva de Bell) ea Joseph efeito (na qual persistência de um valor pode ocorrer por um tempo, mas de repente mudar depois). Em 1967, ele publicou Quanto tempo a costa da Grã-Bretanha é? Estatística auto-similaridade e Fractional Dimension, mostrando que o comprimento de uma linha costeira varia de acordo com a escala do instrumento de medição, assemelha-se em todas as escalas, e é infinito em comprimento para um dispositivo de medição infinitamente pequeno. Argumentando que um rolo de barbante parece ser 1-dimensional (agora), 3-dimensional (bastante próximo), ou 1-dimensional (fechar), ele argumentou que as dimensões de um objeto são em relação ao observador e pode ser fraccionada. Um objeto cuja irregularidade é constante ao longo de diferentes escalas ("auto-similaridade") é um fractal (por exemplo, o Curva de Koch ou " floco de neve ", que é ainda infinitamente longo encerra um espaço finito com dimensões = 1,2618; ou o Menger esponja e do Junta sierpinski). Em 1975, publicou Mandelbrot A Geometria Fractal da Natureza, que se tornou um clássico da teoria do caos. Os sistemas biológicos, tais como a ramificação dos sistemas circulatório e brônquios provou para ajustar um modelo fractal.

Yoshisuke Ueda identificados de forma independente um fenômeno caótico, como tal, utilizando uma computador analógico em 27 de Novembro de 1961. O caos exibido por um computador analógico é um fenómeno verdadeiro, em contraste com aqueles que computadores digitais calcular, que tem um tipo diferente de limite de precisão. Professor de supervisão de Ueda, Hayashi, não acreditava em caos, e assim ele proibida Ueda de publicar suas descobertas até 1970 .

Em dezembro de 1977, a New York Academy of Sciences organizou o primeiro simpósio sobre Chaos, com a participação de David Ruelle, Robert May, James Yorke (coiner do termo "caos", usado em matemática), Robert Shaw (um físico, parte do Grupo com Eudaemons J. Farmer e Doyne Norman Packard que tentou encontrar um método matemático para vencer roleta, e depois criou com eles o Sistemas Dinâmicos Colectivo em Santa Cruz), e a meteorologia Edward Lorenz.

No ano seguinte, Mitchell Feigenbaum publicou o artigo observou que "Quantitative Universalidade para uma classe de não-lineares Transformations", onde descreveu mapas logísticos. Feigenbaum havia aplicado geometria fractal para o estudo de formas naturais, como linhas costeiras. Feigenbaum nomeadamente descobriu a universalidade no caos, permitindo uma aplicação da teoria do caos para muitos fenômenos diferentes.

Em 1979, Albert J. Libchaber, durante um simpósio organizado em Aspen por Pierre Hohenberg, apresentou sua observação experimental do cascata bifurcação que leva ao caos e turbulência em convectiva Sistemas de Rayleigh-Benard. Ele foi agraciado com o Prêmio Wolf de Física em 1986, juntamente com Mitchell J. Feigenbaum "por sua brilhante demonstração experimental da transição à turbulência e caos em sistemas dinâmicos".

A Academia de Ciências de Nova York, em seguida, co-organizado, em 1986, com o Instituto Nacional de Saúde Mental e do Escritório de Pesquisa Naval a primeira conferência importante no caos em biologia e medicina. Bernardo Huberman, assim, apresentado um modelo matemático do eye tracking desordem entre os esquizofrênicos . A teoria do caos, posteriormente renovada fisiologia na década de 1980, por exemplo, no estudo de patológico ciclos cardíacos.

Em 1987, Por Bak, Chao Tang e Kurt Wiesenfeld publicou um artigo em Physical Review Letters descrevem pela primeira vez criticalidade auto-organizada (SOC), considerado como sendo um dos mecanismos pelos quais complexidade surge na natureza. Ao lado de abordagens em grande parte baseada em laboratório, tais como o Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile, muitas outras investigações têm-se centrado em torno dos sistemas naturais ou sociais de grande escala que são conhecidos (ou suspeitos) para exibir escala-invariante comportamento. Embora essas abordagens não foram sempre bem-vindas (pelo menos inicialmente) por especialistas nos assuntos examinados, SOC tem, no entanto, estabelecer-se como um forte candidato para explicar uma série de fenômenos naturais, tais como: terremotos (que, muito antes SOC foi descoberta, eram conhecidos como uma fonte de comportamento escala invariante como a Gutenberg-Richter lei que descreve a distribuição estatística dos tamanhos do terremoto, eo Omori lei que descreve a freqüência de tremores secundários); erupções solares; flutuações nos sistemas econômicos, tais como mercados financeiros (referências a SOC são comuns em econofísica); formação de paisagem; incêndios florestais; deslizamentos de terra; epidemias; e evolução biológica (SOC onde foi invocado, por exemplo, como o mecanismo dinâmico por trás da teoria do "equilíbrio pontuado" apresentadas pela Niles Eldredge e Stephen Jay Gould ). Preocupante, dadas as implicações de uma distribuição gratuita escala de tamanhos de eventos, alguns pesquisadores sugeriram que um outro fenômeno que deve ser considerado um exemplo de SOC é a ocorrência de guerras . Estas investigações "aplicadas" de SOC incluíram ambas as tentativas de modelagem (ou desenvolvimento de novos modelos ou adaptando os já existentes para as especificidades de um dado sistema natural), e análise de dados extensos para determinar a existência e / ou características de leis de escala naturais.

No mesmo ano, James Gleick publicou Caos: Fazendo uma ciência nova, que se tornou um best-seller e introduziu os princípios gerais da teoria do caos, bem como a sua história para o público em geral. No início os domínios do trabalho de alguns, indivíduos isolados, a teoria do caos progressivamente surgiu como uma disciplina transdisciplinar e institucional, principalmente sob o nome de análise de sistemas não-lineares. Aludindo a Thomas Kuhn conceito de "s mudança de paradigma expostos em A estrutura das revoluções científicas (1962), muitos "chaologists" (como alguns auto-nomeado si) afirmou que esta nova teoria foi um exemplo de como a mudança, uma tese sustentada por J. Gleick.

A disponibilidade de computadores mais baratos, mais poderosos alarga a aplicabilidade da teoria do caos. Atualmente, a teoria do caos continua a ser uma área de pesquisa muito ativa, envolvendo muitos diferentes disciplinas (matemática, topologia , física, biologia populacional, biologia, meteorologia, astrofísica, teoria da informação, etc.).

Dinâmica caótica

Para um sistema dinâmico para ser classificada como caótica, ele deve ter as seguintes propriedades:

• ele deve ser sensível às condições iniciais,
• deve ser mistura topologicamente, e
• sua órbitas periódicas deve ser densa.

A sensibilidade às condições iniciais significa que cada ponto de um tal sistema é arbitrariamente estreitamente aproximada por outros pontos com significativamente diferentes trajectórias futuras. Assim, um arbitrariamente pequena perturbação da trajetória atual pode levar a um comportamento futuro significativamente diferentes.

Sensibilidade às condições iniciais é popularmente conhecido como o " efeito borboleta ", assim chamado por causa do título de um papel dado por Edward Lorenz em 1972 para o Associação Americana para o Avanço da Ciência, em Washington, DC A previsibilidade intitulado: A Flap de asas de uma borboleta no Brasil desencadeou uma Tornado no Texas O bater as asas representa uma pequena mudança na condição inicial do sistema, o que provoca uma cadeia de? eventos que levam a fenômenos de grande escala. Tinha a borboleta não bateu suas asas, a trajetória do sistema poderia ter sido muito diferente.

Sensibilidade às condições iniciais muitas vezes é confundido com o caos nas contas populares. Ele também pode ser uma propriedade subtil, uma vez que depende de uma escolha de métrica, ou a noção de distância no espaço de fase do sistema. Por exemplo, considerar o sistema dinâmico simples produzida dobrando repetidamente um valor inicial (definido pelo mapeamento sobre o eixo real de x a 2x). Este sistema tem dependência sensível às condições iniciais em todos os lugares, uma vez que qualquer par de pontos próximos acabará por se tornar amplamente separados. No entanto, ele tem um comportamento extremamente simples, como todos os pontos, excepto 0 tende ao infinito. Se em vez disso, usamos a métrica limitada na linha obtido pela soma do ponto no infinito e visualizar o resultado como um círculo, o sistema não é mais sensível às condições iniciais. Por esta razão, na definição de caos, a atenção é normalmente restrito para sistemas com métricas limitadas, ou fechada, delimitada subconjuntos invariantes de sistemas ilimitados.

Mesmo para sistemas limitados, a sensibilidade às condições iniciais não é idêntico ao caos. Por exemplo, considerar o toro de duas dimensões descritas por um par de ângulos (x, y), cada um variando entre zero e 2π. Definir um mapeamento que leva qualquer ponto (x, y) a (2x, y + a), em que a é um número tal que um / 2π é irracional. Por causa da duplicação na primeira coordenada, o mapeamento exibe dependência sensível às condições iniciais. No entanto, por causa da irracional rotação na segunda coordenada, não há órbitas periódicas, e, portanto, o mapeamento não é caótica de acordo com a definição acima.

Mistura topologicamente significa que o sistema irá evoluir ao longo do tempo, de modo que qualquer dada região ou conjunto aberto de seu espaço fase acabará por se sobrepor com qualquer outra determinada região. Aqui, "mistura" é realmente significou para corresponder ao padrão intuição: a mistura de cor corantes ou fluidos é um exemplo de um sistema caótico.

Atratores

Alguns sistemas dinâmicos são caóticas em todos os lugares (ver por exemplo, Difeomorfismos de Anosov), mas em muitos casos, o comportamento caótico é encontrada somente em um subconjunto do espaço de fase. Os casos de maior interesse surgem quando o comportamento caótico ocorre em um atractor, desde então, um grande conjunto de condições iniciais conduzirá a órbitas que convergem para essa região caótica.

Uma maneira fácil de visualizar um atrator caótico é começar com um ponto no bacia de atração do atrator, e depois simplesmente traçar sua órbita subsequente. Devido à condição de transitividade topológico, este é susceptível de produzir uma imagem de todo o atrator final.

Diagrama de fase para um pêndulo amortecido conduzido, com movimento de casal período

Por exemplo, num sistema que descreve um pêndulo, o espaço de fase pode ser bi-dimensional, que consiste de informação sobre a posição e velocidade. Pode-se traçar a posição de um pêndulo contra a sua velocidade. Um pêndulo em repouso irão ser representados como um ponto, e um em movimento periódico será traçado como uma curva fechada simples. Quando uma tal trama forma uma curva fechada, a curva é um chamado órbita. O nosso pêndulo tem um número infinito de tais órbitas, formando um lápis de elipses aninhados sobre a origem.

Atratores estranhos

Enquanto a maioria dos tipos acima mencionados de movimento dão origem a atractores muito simples, tais como pontos e curvas círculo, chamados ciclos limites, movimento caótico dá origem ao que é conhecido como atratores estranhos atratores, que podem ter grande detalhe e complexidade. Por exemplo, um modelo do tridimensional simples Lorenz sistema meteorológico dá origem ao famoso Lorenz atrator. O atrator de Lorenz é talvez uma das mais conhecidas diagramas sistema caótico, provavelmente porque não só foi um dos primeiros, mas é um dos mais complexos e, como tal, dá origem a um padrão muito interessante que se parece com as asas de uma borboleta. Outro é o atractor tal Mapa Rössler, que experimenta período de dois rota duplicação de caos, como o mapa logístico.

Atratores estranhos ocorrem em ambos sistemas dinâmicos contínuos (tais como o sistema de Lorenz) e em alguns sistemas discretos (tais como o Mapa Hénon). Outros sistemas dinâmicos discretos têm uma estrutura chamada de repelente Julia definir que forma a fronteira entre bacias de atração de pontos fixos - conjuntos de Julia pode ser pensado como repelentes estranhas. Ambos os atratores estranhos e conjuntos de Julia têm tipicamente um fractal estrutura.

O Poincaré-Bendixson mostra que um atrator estranho só pode surgir em um sistema dinâmico contínuo, se tiver três ou mais dimensões. No entanto, essa restrição não se aplica a sistemas discretos, que podem exibem atratores estranhos em dois ou até mesmo um sistemas dimensionais.

As condições iniciais de três ou mais corpos interagindo através da atração gravitacional (ver o N problema -Body) pode ser disposta de modo a produzir o movimento caótico.

Um mínimo de complexidade de um sistema caótico

Diagrama de bifurcação de um mapa logístico, exibindo comportamento caótico passado um limiar

Os sistemas simples também pode produzir caos sem depender de equações diferenciais . Um exemplo é a mapa logístico, que é uma equação de diferenças ( recorrência relação) que descreve o crescimento da população ao longo do tempo.

Mesmo a evolução dos sistemas discretas simples, tais como autômatos celulares, pode dependem muito das condições iniciais. Stephen Wolfram tem investigado um autômato celular com essa propriedade, denominada por ele regra 30.

Um modelo mínima para conservador (reversível) comportamento caótico é fornecido por Do gato de Arnold.

Teoria matemática

O teorema de Sarkovskii é a base de Li e Yorke (1975) prova que qualquer sistema unidimensional que exibe um ciclo regular de período de três também exibirá ciclos regulares de cada outro comprimento, bem como órbitas completamente caóticos.

Os matemáticos criaram muitas outras maneiras de fazer declarações quantitativas sobre sistemas caóticos. Estes incluem: dimensão fractal do atrator, Expoentes de Lyapunov, parcelas de recorrência, Mapas de Poincaré, diagramas de bifurcação, e operador de transferência.

Distinguindo aleatória a partir de dados caótico

Pode ser difícil dizer a partir de dados se um processo observado física ou outro é aleatório ou caótico, porque, na prática não séries temporais consiste de pura 'sinal'. Sempre haverá algum tipo de ruído corruptora, mesmo se ele estiver presente como arredondamento ou erro de truncamento. Assim, qualquer série em tempo real, mesmo que na maior parte determinística, conterá alguma aleatoriedade.

Todos os métodos para distinguir processos estocásticos determinísticos e contar com o facto de um sistema determinista evolui sempre da mesma forma a partir de um determinado ponto de partida. Assim, tendo em conta uma série de tempo para testar o determinismo, pode-se:

1. escolher um estado de teste;
2. procurar as séries cronológicas para um similar ou estado 'próximo'; e
3. comparar suas respectivas evoluções tempo.

Definir o erro como a diferença entre a evolução temporal do estado 'teste' ea evolução temporal do estado vizinho. Um sistema determinista terá um erro que ou permanece pequena (solução estável, regular) ou aumenta exponencialmente com o tempo (o caos). Um sistema estocástico terá um erro distribuído aleatoriamente.

Essencialmente todas as medidas tomadas a partir do determinismo séries temporais dependem de encontrar os estados mais próximos de um determinado estado 'teste' (ou seja, a dimensão de correlação, expoentes de Lyapunov, etc.). Para definir o estado de um sistema baseia-se tipicamente um embebimento métodos espaço de fase. Normalmente a pessoa escolhe uma dimensão incorporação, e investiga a propagação do erro entre dois estados próximos. Se o erro parece aleatório, se aumenta a dimensão. Se você pode aumentar a dimensão para obter um erro de olhar determinista, então você está feito. Embora isso possa parecer simples, não é realmente. Uma complicação é que, como a dimensão aumenta a busca por um estado vizinho requer muito mais tempo de computação e uma grande quantidade de dados (a quantidade de dados necessária aumenta exponencialmente com dimensão incorporação) para encontrar um candidato adequado perto. Se a dimensão de incorporação (número de medidas por estado) é escolhido muito pequeno (menor que o valor 'true') dados determinísticos pode parecer aleatório, mas, em teoria, não há nenhum problema escolher a dimensão muito grande - o método vai funcionar. Praticamente, qualquer coisa que aproxima a cerca de 10 dimensões é considerado tão grande que uma descrição estocástico é provavelmente mais adequado e conveniente de qualquer maneira.

Aplicações

A teoria do caos é aplicado em muitas disciplinas científicas: matemática , biologia , ciência da computação , economia , engenharia , finanças , filosofia , física , política , dinâmica populacional, psicologia , e robótica.

A teoria do caos também está sendo aplicada a estudos médicos de epilepsia , especificamente com a previsão de apreensões aparentemente aleatórios, observando as condições iniciais.

Literatura

Artigos

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