Equação

Uma equação é um matemático declaração, em símbolos, que duas coisas são o mesmo (ou equivalente). As equações são escritos com um sinal de igual, como em

A equação acima é um exemplo de um igualdade: a proposição que afirma que dois As constantes são iguais. Igualdades pode ser verdadeira ou falsa.

As equações são muitas vezes utilizados para afirmar a igualdade de dois expressões que contenham uma ou mais variáveis. Nos reais , podemos dizer, por exemplo, que, para qualquer valor dado de É verdade que

A equação acima é um exemplo de um identidade; uma equação que é verdadeiro independentemente dos valores de todas as variáveis que aparecem na mesma. A equação a seguir não é uma identidade:

É falso para um número infinito de valores de E verdadeiro para apenas dois, o raízes ou soluções da equação, e . Portanto, se a equação é conhecido por ser verdade, transporta informação sobre o valor de Para resolver uma equação significa encontrar suas soluções.

Muitos autores reservam o termo equação para uma igualdade que não é uma identidade. A distinção entre os dois conceitos pode ser sutil; por exemplo,

é uma identidade, enquanto

é uma equação, cujas raízes estão e . Se uma instrução se destina a ser uma identidade ou uma equação, que transporta a informação sobre as variáveis geralmente pode ser determinada a partir do contexto.

Cartas do início do alfabeto, como a, b, c ... frequentemente denotar constantes no contexto da discussão na mão, enquanto as letras do fim do alfabeto, como x, y, z ..., são geralmente reservados para o variáveis, uma convenção iniciada pela Descartes.

Propriedades

Se uma equação de álgebra é conhecido por ser verdade, as operações seguintes podem ser usadas para produzir uma outra equação verdadeira:

1. Qualquer quantidade pode ser adicionado a ambos os lados.
2. Qualquer quantidade pode ser subtraído a partir de ambos os lados.
3. Qualquer quantidade pode ser multiplicada para ambos os lados.
4. Qualquer quantidade diferente de zero pode dividir ambos os lados.
5. Geralmente, qualquer função pode ser aplicada a ambos os lados. (No entanto, o cuidado deve ser exercido para garantir que não se encontram soluções estranhas.)

As propriedades algébricas (1-4) implica que a igualdade é um relação de congruência para um campo; na verdade, é essencialmente o único.

O mais bem conhecido sistema de números que permite que todas estas operações são os números reais , o que é um exemplo de um campo. No entanto, se a equação foram baseados nos números naturais , por exemplo, algumas destas operações (como divisão e subtração) pode não ser válida como números negativos e não- números inteiros não são permitidos. Os inteiros são um exemplo de um domínio integral que não permite que todas as divisões como, mais uma vez, são necessários números inteiros. No entanto, a subtração é permitido, e é o operador inverso , em que o sistema.

Se uma função que não está injetivo é aplicada a ambos os lados de uma equação verdadeira, então a equação resultante continua a ser verdade, mas pode ser menos útil. Formalmente, a pessoa tem uma implicação, não um equivalência, portanto, o conjunto solução pode ficar maior. As funções implicadas nas propriedades de (1), (2), e (4) são sempre injetivo, como é (3), se não se multiplicam por de zero . Alguns generalizada produtos, tais como um produto de ponto, nunca estão injective.