Discuter:Algèbre de Boole (logique)

[modifier] Remarques sur l'article

[modifier] Doublon avec Calculs de proposition

[modifier] George Boole et non Alfred Boole

[modifier] Question à propos du langage courant

[modifier] Mise en page des not

[modifier] Notation . et +

[modifier] Définition formelle ?

[modifier] inverse

[modifier] Proposition de refonte

[modifier] Que faire de cette partie?

[modifier] Définition de OU

[modifier] Identités remarquables

[modifier] Proposition d'article de qualité refusée le 25 novembre 2005

[modifier] Exemple de fonction logique à 3 variables

[modifier] Remarques

[modifier] Priorité

[modifier] Demande de vérification

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[modifier] Définition

[modifier] table de vérite

[modifier] Opérateurs fondamentaux

[modifier] Propriétés opératoires

[modifier] Réduction des opérateurs logiques

[modifier] Exemple d'opérateur logique

[modifier] Raisons de la demande de vérification

[modifier] Discussions et commentaires

	Algèbre de Boole (logique) fait partie du projet Mathématiques, qui a pour but d'enrichir le contenu de Wikipédia sur les sujets liés aux mathématiques. Si vous voulez participer, vous pouvez modifier cet article ou visiter la page du projet, où vous pourrez vous joindre au projet et consulter la liste des tâches et des objectifs. Le portail Mathématiques pourrait aussi vous intéresser.
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les tables de vérité que je connais se présentent comme un tableau à double entrée, et pas un tableau à une entrée, ie: on choisit la bonne ligne pour a, la bonne colonne pour b et on lit le résultat de op(a,b) sur la case correspondante;
dans la définition de table de vérité, je me suis demandé ce que pouvaient bien être x1, x2, etc... Peut-être qu'un exemple sera plus parlant...
qualifier le 'et', le 'ou' et le 'non' d'élémentaires me semble faux. "de base" oui, "élémentaire", non: en effet, à côté du non-et et du non-ou, qui sont (chacun, pas forcément les deux simultanément) capable de reconstituer tous les autres;
d'ailleurs puisqu'on en parle, ce dernier résultat est des plus intéressants à mentionner (et prouver?) dans cet article, dans la mesure ou cela a des applications, par exemple en électronique;
peut-être faut-il aussi mentionner que toute fonction de vérité sur un nombre fini de variable se décompose selon ces opérateurs (il y a même des histoires de formes normales conjonctives/disjonctives, des questions de PROLOG, etc...);

J'espère avoir fait des remarques constructives dans le lot...

Snark

Il faudrait éviter les doublons avec la page Calcul des propositions que j'ai complété il y a peu.
Il faut aussi réécrire la page pour remplacer les notations avec | par celle utilisant le mode mathématique.
Ellisllk 16 jul 2003 à 22:18 (CEST)

Qui est Alfred Boole? Je pense que vous allez trouver que c'est GEORGE Boole qui est le créateur de l'algebre de Boole.

Jonny G

Merci, Jonny. -- Looxix 16 aoû 2003 à 15:35 (CEST)

J'ai toujours été très intrigué et parfois gêné de ce que dans le langage courant (en parlant comme en écrivant) "a OU b" ne puisse pas être distingué de "(a ET NON b) OU (non A et B)": à l'exclusion de certains sujets particuliers, cette distinction est elle vraiment pédante et superflue (et ma question elle aussi pédante et superflue)?

Non non, cette question n'est pas pédante et superflue (tte question fait avancer le schmilblic). La distinction est faite grâce à l'opérateur OU EXCLUSIF (un + entouré), qui revient à écrire (A . nonB) + (nonA . B). J'espere avoir répondu a ta question :).AElfwine 6 mai 2004 à 19:05 (CEST)

Non, le langage courant admet très bien que le 'ou' soit inclusif. Ce sont les restaurateurs qui ont la sale manie d'écrire "fromage ou dessert" alors qu'ils veulent exprimer "soit fromage soit dessert". Snark 9 mai 2004 à 11:51 (CEST)

Pourquoi les restaurateurs aurait-ils une sale manie, puisque le langage courant admet très bien que le "ou" soit inclusif ou exclusif.., mais c'est plus compliqué que ça puisque "et" dans le langage courant est parfois "ou": ne serait-ce que dans cette expression: "En français le "ou" est inclusif ET exclusif." ("Dans cette salle, il n'y a que des tableaux de Renoir ET de Matisse.") Pour revenir aux restaurateurs, si le choix de fin de repas avait été un "ou" inclusif, ils écriraient "Fromage ET dessert" !....--Ssire 7 jul 2004 à 08:02 (CEST)

si quelqu'un à le temps:

mettre en page les not avec la fonction math LaTeX \overline{} ainsi, par exemple:

\overline{\overline{a\ +\ b}}\ =\ \overline{\overline{a}.\overline{b}} donne:

$\overline{\overline{a\ +\ b}}\ =\ \overline{\overline{a}.\overline{b}}$

au passage, le symbole xor c'est \oplus : $\oplus$

J'ai fait une première mise en page des "not"... J'ai pas oser toucher à la notation a| pour $\overline{a}$ , notation que d'ailleur je n'avais jamais vu.... :/

Il ne s'agissait pas de transformer les $\neg a$ (qui n'étaient pas encore dans la page à cette époque), en $\overline{a}$ , mais les a|, qui avaient été écrits à défaut de mieux par le rédacteur originel. Pour ce qui est des $\neg a$ , c'est la notation utilisée par tous les logiciens théoriques, tant qu'on reste du côté formel. Je pense que c'est une bonne chose d'utiliser des symboles différents dans les deux parties afin de ne pas confondre syntaxe et sémantique. J'ai d'ailleurs restauré la dernière version de CD (non pas pour ça, mais parce que ta dernière modification avait détruit les interwikis en unicode). --Aldoo / ✉ 14 fev 2005 à 17:56 (CET)

Thow, autant pour moi... Ma première contrib a wikipedia est un echec, j'ai justement pas osé toucher a la partie que j'aurais du corriger... Je m'occuperais de la correction dès que j'aurais compris ce que j'ai cassé. "ta dernière modification avait détruit les interwikis en unicode" heu c'est quoi ? et si tu as une idée de comment j'ai pus les casser.... que je ne recommence pas la même erreur.... SegFault

Les interwikis sont les liens avec les versions dans d'autres langues du présent article. Unicode est une norme de représentation des caractères (enfin, UTF-8, pour être exact, est une norme de codage des caractères Unicode). Compare les deux versions pour comprendre (avec l'outil fourni dans l'onglet historique) ... si tu as un navigateur unicode (et que tu as une police de caractère unicode installée), ça devrait te sauter aux yeux. En fait, je ne vois pas trop comment on peut en arriver à détruire les caractères unicode aussi facilement. Je pense que c'est parce que tu dois utiliser un navigateur un peu vieux qui ne respecte pas cette norme. Essaye avec un navigateur moderne tel que Mozilla Firefox, si tu veux éviter ce genre de désagrément. --Aldoo / ✉ 15 fev 2005 à 17:05 (CET)

Ok, refait la modif, j'espère correctement. Pour l'unicode, j'avais pas vu que les caractère spéciaux n'avais pas un encodage particulier.... :/ . Et vu que j'avais fait un copier-coller barbare dans mon editeur de texte préféré (alias Notepad2...) pour rechercher les occurrences, forcément.... Si c'est ok, cette partie de la discution est peut-être à effacer ? (enfin j'en sais rien, comme dit, je suis nouveau contributeur...)

On efface rarement les discussions ici ;-). A moins que la page soit réellement encombrée, auquel cas on archive. En tout cas merci pour ce travail qui aurait déjà dû être réalisé il y a bien longtemps ! --Aldoo / ✉ 16 fev 2005 à 14:23 (CET)

Il me semble qu'on aurait tout aussi bien pu ecrire:

Le ET (opération .) est une opération (en fait une loi de composition interne) dont 1 est l'élément neutre.
Le OU (opération +) est une opération (en fait une loi de composition interne) distributive et associative par rapport au ET.
L'ensemble des booléens munie de l'opération ET est un groupe commutatif.
....

Pourquoi priviléger une forme ? Ne serait-il pas interressant de présenter ça, en remarque, peut-être. Je ne le fais pas moi-même, je ne suis pas assez pointu dans le domaine--Ssire 7 jul 2004 à 08:37 (CEST)

Dans cet article, il manque l'essentiel : la définition formelle de la structure algébrique qu'est l'algèbre de Boole !!! (A savoir un ensemble muni de deux lois de composition internes idempotentes avec élément neutre et mutuellement distributives, etc, etc ...). Le problème, c'est que si je l'ajoute, ça va faire doublon avec les soi-disant "propriétés" explicitées plus loin (qui font en fait partie des axiomes de cette structure !). Bon, je m'en vais réfléchir à une possible refonte.--Ąļḋøø 24 oct 2004 à 20:00 (CEST)

«ā se lit « a barre » et compte comme l'inverse de a. (0 si a=1, 1 si a=0)»

le terme "inverse" est-il réellement le bon ici? J'ai un bouquin qui parle d'algèbre de boole, si je le retrouve je verrai ce qu'il en dit Esp2008 5 déc 2004 à 22:22 (CET)

En électronique, on parle bien d'inversion pour passer de a à NONa HB 12 avr 2005 à 13:01 (CEST)

L'article me semble très (trop) dense) et il ne pourra aller qu'en croissant. Je propose donc une cission

Algèbre de Boole (algèbre) parlant de l'ensemble muni de ses deux lois
Algèbre de Boole (fonction logique) qui devrait à terme contenir l'équivalent d'un bouquin et donc qui devra probablement renvoyer sur des articles plus spécifiques

L'algèbre de Boole (fonction logique) est la partie des mathématiques et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et fonctions sur les variables logiques

Avec une décomposition

d'une valeur de vérité, une variable logique, une valuation , d'une fonction ou d'un opérateur

ET, OU, NON (l'actuel chapitre opérateurs logique)

chapitre présentant la réduction des opérateurs XOR, EQV, IMP et INH et renvoyant sur d'autres articles créés ou à créer

methode de Quine-mcCluskey
méthode des tremes irréductibles
diagramme de Karnaugh

cela necessitera un grand changement

renommage de l'article en Algèbre de Boole (fonction logique)
transformation de la page Algèbre de Boole en page d'homonymie,
Création d'une page Algèbre de Boole (algèbre)

C'est pourquoi je fait d'abord cette proposition avant de me lancer (dans une semaine) dans une réalisation.HB 12 avr 2005 à 13:01 (CEST)

Salut. Suis largement favorable à cette proposition ! --Ssire 12 avr 2005 à 13:08 (CEST)

Nous nous donnons un ensemble V de symboles appelées variables logiques. Une valuation de V est une fonction qui à chaque variable logique associe une valeur de vérité. On supposera que V est un ensemble fini.

L'idée intuitive que l'on doit avoir d'une variable logique est celle d'une condition de la situation réelle observée, qui peut être satisfaite (état à VRAI), ou non (état à FAUX). Une valuation est la donnée de l'état de tout le système observé.

Exemple avec un état:

0 = lampe éteinte

1 = lampe allumée

L'algèbre de Boole des fonctions logiques est l'algèbre des fonctions qui à une valuation de V associent une valeur de vérité. Les opérations $\vee$ , $\wedge$ et $\neg$ , toujours appelées OU, ET et NON se déduisent des opérations OU, ET et NON de l'algèbre des valeurs de vérité (par exemple : la négation d'une fonction logique f est la fonction logique NON(f) qui à une valuation v associe NON(f(v))).

Dans la pratique (dans le cadre de la logique propositonnelle), ces fonctions sont construites :

soit à partir des valeurs de vérité 0 et 1 : ce sont les fonctions logiques constantes notées aussi 0 et 1 et qui valent toujours respectivement FAUX et VRAI quelle que soit la valuation des variables logiques
soit à partir d'une variable logique p : c'est la fonction notée p (le même symbole que la variable) où p(v) vaut VRAI si et seulement si v(p) vaut VRAI
soit à partir d'autres fonctions logiques, composées entre elles par les opérateurs logiques ET, OU et NON

Notons que selon la logique utilisée, il peut exister d'autres constructions (par exemple avec des quantificateurs, dans la logique du premier ordre). Dans le cas où V est fini (le cas qui nous intéresse), les constructions données plus haut permettent d'obtenir toutes les fonctions logiques.

N'ayant pas bien compris les notions développées dans ces paragraphes, je n'ai pas réussi à leur trouver une place. Si quelqu'un peut traduire plus simplement et l'intégrer, cela peut être intéressant. HB 20 avr 2005 à 21:19 (CEST)

Il a d'abord été écrit a OU b est vrai si et seulement si a est vrai ou b est vrai. Le ou en français n'est pas exclusif donc permet de considérer aOUb vrai dans le cas où a est vrai et b aussi

la définition a ensuite été transformée en a OU b est vrai si a est vrai ou si b est vrai . Affirmation tout à fait juste mais qui, en toute théorie, ne définit pas complètement la loi si a est vrai et b faux alors a OU b est vrai si a est vrai et b est vrai alors a OU b est vrai si a est faux et b est vrai alors a OU b est vrai mais cela ne dit rien sur le cas où a est faux et b est faux

d'où le retour à la première formulation. HB 27 septembre 2005 à 18:54 (CEST)

j'ai effectivement modifié un peu vite, et la remarque sur la non def du "a faux OU b faux" est tout à fait juste. Cela dit, c'est le problème de definir un OU rigoureux avec un OU du langage courant, qui n'est pas si systematiquement inclusif, loin de là (cf. le fromage OU dessert des menus de resto cité plus haut..., quand c'est le ET qui prend valeur de OU inclusif dans "fromage ET dessert") Quitte à être redondant ne vaudrait il pas mieux un "si et seulement si A vrai, B vrai ou A et B vrai". Ou encore: AouB faux si et seulement si A faux ET B faux. (pourquoi toujours privilégier les def par Vrai ? Faux est une valeur d'un statut égal à vrai...)--Ssire 27 septembre 2005 à 19:14 (CEST)

Suite: Une définition se doit d'être éclairante, en utilisant un OU flou pour définir un OU rigoureux, on n'est pas très éclairant...En donnant les trois cas (Avrai)OU(Bvrai)OU(Avrai ET Bvrai), on lève l'ambiguité du OU du langage courant...--Ssire 27 septembre 2005 à 21:43 (CEST)

Entièrement d'accord,. C'est la raison pour laquelle j'ai conservé la précision entre parenthèse: (notons que etc.)HB 27 septembre 2005 à 22:10 (CEST)

je pense qu'un tableau des identités remarquables serait utile , notament pour le chapitre simplification...

a+a = a
a.a = a
$a + \overline{a}.b$ = a + b
a+1=1
a+0=a
a.0=0
a.1=a
etc ...

Cet article a été proposé comme article de qualité mais a été rejeté car ne satisfaisait pas les critères de sélection dans sa version du 25 novembre 2005 (historique).
Si vous désirez reprendre l'article pour l'améliorer, vous trouverez les remarques que firent les wikipédiens dans la page de vote.

Il me semble que l'exemple de la fonction « décrocher » pour le téléphone est un peu incompréhensible en un point. Regardez la table de vérité « décrocher ». Je cite:

« L'observation de la table montre que notre analyse première comportait une situation absurde : si le téléphone sonne et qu'on n'a pas envie de répondre, on ne décroche pas même si on a envie d'appeler quelqu'un. »

Donc, d'après ce texte, il est absurde de ne pas décrocher si le téléphone sonne et on a envie d'appeller quelqu'un. Or, selon le tableau, on décroche dans cette situation. Déjà là, il y a un léger problème. Ensuite, si on propose un autre tableau de vérité, pourquoi pas la formule et une explication?

Je n'ai rien modifié, peut-être que c'est moi qui ne comprends pas. Dans ce cas, pourquoi ne pas modifier la formule en $(a.b+c).(a\oplus c)$ ? Ainsi, la table de vérité sera correcte. Je me demande seulement s'il n'est pas possible de simplifier cette formule.

Je suis nouveu, j'éspaire avoir tout fait correctement. --Digimag 24 janvier 2006 à 18:08 (CET)

Bonjour, digimag et bienvenu donc sur wikipédia. Tu as fait tout très correctement: la page de discussion de l'article sert justement à ce type de remarque. L'exemple à trois variables propose en fait deux exemples. L'exemple décrocher1 où, partant d'une formule qui semble logique, on construit une table qui montre que le problème a été mal analysé : la formule a.b + c conduit à dire que dans le cas où on a envie d'appeler(c = 1), on décroche même si le téléphone sonne et qu'on n'a pas envie de répondre (b = 0), ce qui ne correspond pas à un comportement normal.

On a alors modifié la table de vérité en conséquence ce qui nous donne la fonction décrocher2 qui, elle, n'est alors définie, provisoirement, que par sa table de vérité. La formule associée à la table de vérité de décrocher2 est mise en place dans la suite de l'article "minimisation d'une expression"' où la formule est d'abord donnée sur forme développée puis sous forme réduite : non(a).c + a.b.

L'objectif, en présentant deux tables et un ajustement, était d'être pédagogique mais ... ça a l'air d'être râté :-(

J'espère que ces explications t'auront éclairé. Si tu les as comprises, n'hésite pas à modifier l'article pour le rendre plus clair (si tu n'as pas compris au départ, d'autres risquent aussi de se poser des questions) HB 24 janvier 2006 à 18:49 (CET)

Même s'il est assez complèt, l'article est trop matheux. On doit pouvoir le rendre plus fluide.
"A OU B est vrai" si au moins "A est vrai" ou "B est vrai". Une définition du OU qui de plus justifie la notation "≥1" pour les portes logiques des schéma normalisés éléctroniques ou pneumatiques. Par opposition à la fonction OU exclusive "=1".
Remarque amusante: prenez la table de vérite du OU et inverser tous les 0 et 1, vous obtiendrez la table de vérité du ET. C'est sur cette propriété que que reposent le théorèmes de Morgan.
enfin il y a quelques relations avec les probabilités (ET: intersection ; OU: réunion; NON: complémentarité...)

--Ruizo 8 mars 2006 à 08:15 (CET)

Il est dit dans la partie Priorité de l'article qu'il était choisi de conserver celle des opérateurs + et ., ce qui m'étonne : pour l'expression $a . b + c$ , on peut très bien choisir de réécrire celle-ci sous la forme $a . c + b . c$ pour faciliter l'évaluation. C'est d'ailleurs pour cette raison que certaines personnes préfèrent ne pas utiliser ces notations de + et . qui induisent en erreur à casue de l'habitude qu'on a dans leur manipulation, et d'utiliser plutôt $\and$ et $\or$ .

Discutez dans les chapitres prévus.
Liens utiles : À recycler - À traduire - À fusionner - Orthographe à vérifier - Soupçons de copyright - Articles non neutres

Proposé par : >> --86.203.146.127 3 décembre 2006 à 18:26 (CET) <<

Alors voila les problèmes, je suis pas un pro de la logique, je suis qu'en première S, et j'ai été bien surpris par les tableaux de vérité proposés.

Fonction Table de verité

$\overline{ a + b } = \overline{a} . \overline{b}$

a b a+b $\overline{ a . b }$ $\overline{ a }$ $\overline{ b }$ $\overline{a} . \overline{b}$

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a et b sont fausses.

Regardez bien le tableau, perso, j'aurais apposé celui ci:

Mais je suis qu'en première S, je me le suis pas permis.

Ensuite regardez bien le second tableau ET son commentaire:

Fonction Table de verité

$\overline{ a . b } = \overline{a} + \overline{b}$

a b $a . b$ $\overline{ a . b }$ $\overline{ a }$ $\overline{ b }$ $\overline{a} + \overline{b}$

0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0

Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a ou b sont fausses.

Voila euh, la, si vous regardez bien le tableau, l'expression est fausse que si a et b sont vraies, pas comme le dit l'article.

Voila, et, puis, voila euh, je réexplique que si j'ai pas moi même édité l'article, c'est que j'en suis vraiment pas sur.--86.203.146.127 3 décembre 2006 à 18:26 (CET)

$\overline{ a + b }$

$\overline{ a }$

$\overline{ b }$

$\overline{a} . \overline{b}$

Toutes les discussions vont ci-dessous.

Pour le premier tableau, j'ai corrigé l'erreur de typo. Pour le second tableau, ta phrase est la même que celle de l'article, en l'occurrence correcte si ne m'abuse : non(a ET b) <=> non a OU non b, ie. expression vraie si a OU b faux. jd ❂ 3 décembre 2006 à 18:39 (CET)

Ah oui, c'est très ambiguë de mon point de vue. Pas remarqué en fait ^^--86.203.146.127 3 décembre 2006 à 18:48 (CET)

Tu manques peut-être de pratique ;) Ta phrase est simplement l'équivalence logique de celle écrite dans le corps de l'article. Pour expliciter les choses, en algèbre booléenne, on travaille en binaire, donc ça nous permet de dire que, si quelque chose est vraie si une autre est fausse, alors le quelque chose est faux si l'autre est vraie. Note qu'un monde binaire serait étrange (si le fait que ton chat soit bleu implique que tes cheveux soient sales, alors le fait que tu te laves les cheveux aurait pour conséquence que ton chat ne serait pas bleu. Oui, mais il serait quoi, alors ? Dans le monde booléen, il serait juste « non bleu », ce qui est ennuyeux ^^). Somme toute, les tables ci-dessus ne sont que l'extension à deux variables de cet état de fait, pour les cas non ET, non OU. jd ❂ 3 décembre 2006 à 18:52 (CET)

L'histoire sur un monde binaire me rappelle la blague mathématique (ou logique?) de "C'est un garçon ou une fille?" ^^ (PS, j'ai eu une déconnection 24h, mon IP a changé)--82.121.250.249 3 décembre 2006 à 19:14 (CET)