Couple (physique)

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Sommaire

1 Définition
2 Propriété fondamentale du couple
3 Représentations d'un couple
- 3.1 Représentation la plus simple
- 3.2 Exemples d'autres représentations
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[modifier] Définition

On appelle couple tout système d'actions mécaniques dont la résultante $\vec{R}$ est nulle et le moment résultant $\vec{M}_0$ par rapport à un point $O$ est non nul.

Remarque : ce moment est alors indépendant du point $O$ , comme démontré ci-dessous.

[modifier] Propriété fondamentale du couple

[modifier] Rappel : moment d'une force

On rappelle que le moment par rapport à un point O d'une force dont le point d'application est au point M est défini par :

$\vec{\mathcal{M}}_O \ = \ \vec{OM} \wedge \vec{F}(M)$

[modifier] Un théorème général

Supposons le système d'actions mécaniques représentable par un ensemble dénombrable de forces $\vec{F}_i$ où l'indice $\ i = 1, \cdots, n$ . Pour ce système d'actions mécaniques, le moment résultant est :

$\vec{\mathcal{M}}_O \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{\mathcal{M}}_i \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{OM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i)$

Calculons alors le moment résultant par rapport à un autre point A :

$\vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{AM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i)$

On écrit que chaque vecteur position se décompose comme suit :

$\vec{AM}_i \ = \ \vec{AO} \ + \ \vec{OM}_i$

d'où le moment résultant :

$\vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{AO} \wedge \vec{F}_i(M_i) \ + \ \sum_{i=1}^n \ \vec{OM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i)$

La seconde somme représente le moment résultant en O. De plus, dans la première somme, le vecteur $\vec{AO}$ est indépendant de l'indice i ; on peut donc le sortir de la somme et écrire :

$\sum_{i=1}^n \vec{AO} \wedge \vec{F}_i(M_i) \ = \ \vec{AO} \wedge \left[ \sum_{i=1}^n \vec{F}_i(M_i) \right]$

La somme qui apparait n'est autre que la résultante des forces :

$\vec{R} \ = \ \sum_{i=1}^n \vec{F}_i(M_i)$

d'où le théorème général :

$\vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \vec{\mathcal{M}}_O \ + \ \vec{AO} \wedge \vec{R}$

[modifier] Cas particulier du couple

Le couple étant un système d'actions mécaniques dont la résultante $\vec{R}$ est nulle, son moment résultant est indépendant du point choisi pour le calculer :

$\vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \vec{\mathcal{M}}_O$

On utilise souvent la notation $\vec{\Gamma}$ pour représenter le moment résultant d'un couple. Compte-tenu du résultat précédent, il n'est en effet pas nécessaire de préciser le point choisi pour calculer le moment.

[modifier] Représentations d'un couple

Il existe une infinité de représentations différente d'un même couple $\vec{\Gamma}$ donné.

[modifier] Représentation la plus simple

La plus simple, qui lui donne son nom, consiste à considérer un ensemble de deux forces :

l'une, $\vec{F}_1$ , appliqué en un point $M 1$ différent de l'origine $O$ fixée.

l'autre, $\vec{F}_2 \ = \ - \ \vec{F}_1$ , appliqué en un point $M 2$ symétrique du point $M 1$ par rapport à l'origine $O$ .

Ainsi, la résultante $\vec{R} \ = \ \vec{F}_1 \ + \ \vec{F}_2 \ = \ \vec{0}$ est bien nulle. On suppose de plus que les vecteurs $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ ne sont pas colinéaires au vecteur $\vec{M_1M_2}$ ; le cas le plus simple consiste à prendre les deux forces perpendiculaires à ce vecteur :

Si on note la distance $|| \vec{OM}_1 || = || \vec{OM}_2 || = d$ , la norme des forces $|| \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = F$ , et $\vec{u}$ le vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure, le couple vaut explicitement :

$\vec{\Gamma} \ = \ 2 \ d \ F \ \vec{u}$

[modifier] Exemples d'autres représentations

On peut représenter le même couple $\vec{\Gamma}$ que dans l'exemple précédent par d'autres ensembles d'actions mécaniques. Par exemple, par deux forces :

l'une, $\vec{F}_1$ , appliqué au point $O$ .

l'autre, $\vec{F}_2 \ = \ - \ \vec{F}_1$ , appliqué en un point $M 3$ situé à une distance non nulle de l'origine $O$ .

Ainsi, la résultante $\vec{R} \ = \ \vec{F}_1 \ + \ \vec{F}_2 \ = \ \vec{0}$ est toujours nulle. Pour simplifier, on peut encore supposer que les vecteurs $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ sont perpendiculaires au vecteur $\vec{OM_3}$ :