Crochet de Poisson

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En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables $A$ et $B$ , c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases, par :

$\{A,B\} \ = \ \sum_{i=1}^N \ \left[ \ \frac{\partial A}{\partial q^i} \ \frac{\partial B}{\partial p_i} \ - \ \frac{\partial A}{\partial p_i} \ \frac{\partial B}{\partial q^i} \ \right]$

où les $2 N$ variables canoniques sont :

les $N$ coordonnées généralisées ${q i} i = 1,..., N$ .
les $N$ moments conjugués ${p i} i = 1,..., N$ .

Sommaire

1 Propriétés
2 Équations canoniques
3 Évolution d'une observable quelconque
- 3.1 Cas général
- 3.2 Cas de l'énergie totale
4 Quantification canonique
5 Bibliographie
6 Voir aussi
- 6.1 Articles connexes

[modifier] Propriétés

Le crochet de Poisson est antisymétrique : $\{A,B\} \ = \ - \ \{B,A\}$
Le crochet de Poisson satisfait à l'identité de Jacobi : $\{A,\{B,C\}\} \ + \ \{B,\{C,A\}\} \ + \ \{C,\{A,B\}\} \ = \ 0$

Les variables canoniques sont liées selon : $\{q^j,p_k\} \ = \ \delta^j_k$

[modifier] Équations canoniques

Soit $H (q i, p i)$ le hamiltonien du système considéré. Les équations canoniques de Hamilton se réécrivent en terme du crochet de Poisson sous la forme :

$\dot{q}^j \ = \ \{q^j,H\} \ = \ \frac{\partial H}{\partial p_j}$

et :

$\dot{p}_j \ = \ \{p_j,H\} \ = \ - \ \frac{\partial H}{\partial q^j}$

[modifier] Évolution d'une observable quelconque

[modifier] Cas général

Soit une observable $A$ , c’est-à-dire une fonction sur l'espace des phases dépendant des moments et des coordonnées généralisées. Il résulte des relations précédentes que :

$\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt} \ = \ \frac{\partial A}{\partial t} \ + \ \{A,H\}$

où $\tfrac{\partial A}{\partial t}$ désigne la dérivée partielle de $A$ par rapport à une éventuelle dépendance explicite de $A$ par rapport au temps.

[modifier] Cas de l'énergie totale

On obtient pour l'énergie totale du système :

$\frac{\mathrm dH}{\mathrm dt} \ = \ \frac{\partial H}{\partial t}$

puisque ${H, H} = 0$ par antisymétrie.

[modifier] Quantification canonique

L'intéret du crochet de Poisson est qu'il permet de passer facilement à la quantification dans le formalisme algébrique de Heisenberg de la mécanique quantique. Il suffit en général de faire une substitution :

$\{X,Y\} \ \to \ \frac{1}{i\hbar} \ [\widehat{X},\widehat{Y}]$

où $[.,.]$ désigne le commutateur, pour obtenir les relations de commutation des opérateurs dans le formalisme de Heisenberg à partir des crochets de Poisson des observables classiques. La même stratégie est applicable à la quantification d'un champ classique.

[modifier] Bibliographie

R. Campbell, La mécanique analytique, Coll. Que Sais-Je ?, Presses Universitaires de France.
Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 1 : Mécanique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 3 : Mécanique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
A. Messiah, Mécanique Quantique, Dunod.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

Opération binaire
numérique	fonctionnelle	en ensemble ordonné	structurelle
élémentaire + addition – soustraction × multiplication ÷ division ^ puissance arithmétique div quotient euclidien mod reste euclidien ∧ PGCD ∨ PPCM combinatoire ( ) coefficient binomial A arrangement	∘ composition ∗ convolution	ensemble de parties ∪ réunion \ complémentation ∩ intersection Δ différence symétrique ordre total min minimum max maximum treillis ∧ borne inférieure ∨ borne supérieure	ensembles × produit cartésien ⊔ union disjointe ^ puissance ensembliste groupes ⊕ somme directe ∗ produit libre ≀ produit en couronne modules ⊗ produit tensoriel Hom homomorphismes Tor torsion Ext extensions	arbres ∨ enracinement variétés connexes # somme connexe espaces pointés ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	vectorielle
	(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel
	algébrique
	[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur
	homologique
	∪ cup-produit • produit d'intersection	séquentielle
	∪ cup-produit • produit d'intersection	+ concaténation
logique booléenne
∧ ET (conjonction)	∨ OU (disjonction)	⊕ OU exclusif	⇒ IMP (implication)	⇔ EQV (coïncidence)