Homotopia
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Na topologia , dois contínuas funções de um espaço topológico para outro são chamados homotópicos ( grego homos = idênticos e topos = lugar) se se pode ser "continuamente deformada" para o outro, tal deformação que está sendo chamado uma homotopia entre as duas funções. Um uso proeminente de homotopia é a definição de grupos de homotopia e grupos cohomotopy, importante invariantes em topologia algébrica.
Na prática, existem dificuldades técnicas na utilização homotopias com determinados espaços patológicas. Consequentemente maioria topologists algébricas trabalhar com espaços compactamente geradas, Complexos CW, ou Os espectros.
Definição formal
Formalmente, uma homotopia entre dois funções contínuas f e g a partir de um espaço topológico X para um espaço topológico Y é definido para ser uma função contínua H: X × [0,1] → Y a partir da produto do espaço X com o intervalo unitário [0,1] para Y de tal modo que, para todos os pontos X em X, H (x, 0) = f (x) e h (x, 1) = g (x).
Se pensamos na segunda parâmetro de H como "tempo", então H descreve uma "deformação contínua" de f em g: no tempo 0, temos a função f, em tempo de 1 temos a função g.
Propriedades
As funções contínuas F e G (ambos do espaço topológico X para Y) são referidos como sendo homotópicos sse existe um H homotopy tendo f a g tal como descrito acima. Sendo homotópicos é uma relação de equivalência no conjunto de todas as funções contínuas de X para Y. Esta relação homotopy é compatível com a composição de função no seguinte sentido: se f 1, g 1: X → Y são homotópicas, e f 2, g 2: Y → Z são homotópicas, em seguida, suas composições f 2 o f 1 e 2 g o 1 g: X → Z são homotópicas também.
Equivalência de homotopia e null-homotopy
Dado dois espaços X e Y, nós dizemos que eles são homotopy equivalente ou do mesmo tipo de homotopia se existem contínua mapas f: X → Y eg: Y → X tal que g o f é homotópica à mapa identidade id X e f o g é homotópico a id Y.
O mapas f e g são chamados de equivalências homotopia neste caso. Claramente, cada homeomorphism é uma equivalência homotopy, mas o inverso não é verdadeiro: por exemplo, um disco sólido não é homeomorfos a um único ponto, embora o disco e o ponto de homotopy são equivalentes.
Intuitivamente, dois lugares de X e Y são equivalentes homotopy se eles podem ser transformados em um outro, dobrando, encolhendo e operações em expansão. Por exemplo, um disco sólido ou esfera sólida é homotopy equivalente a um ponto, e R 2 - {(0,0)} é equivalente ao homotopy unidade círculo S 1. Esses espaços que são equivalentes a um ponto homotopy são chamados contractible.
A função F é dito ser nulo homotópicos-se é homotópicos para uma função constante. (A homotopia de f para uma função constante é, então, às vezes chamado de null-homotopy). Por exemplo, é simples para mostrar que um mapa do círculo S 1 é precisamente null-homotópico quando ele pode ser estendido para um mapa do disco D 2.
Resulta destas definições que um espaço X é contrátil se e somente se o mapa identidade de X para si-que é sempre um homotopy equivalência-é null-homotópicas.
Invariância homotopia
Equivalência Homotopia é importante porque, em topologia algébrica muitos conceitos são homotopy invariante, ou seja, eles respeitam a relação de equivalência de homotopia. Por exemplo, se X e Y são espaços equivalentes homotopia, em seguida:
- se X é conectados à caminho, então que assim seja Y
- se X é simplesmente conexa, então é assim Y
- o (singular) homologia e grupos de cohomologia de X e Y são isomorphic
- Se X e Y estiverem conectados via caminho, então a grupos fundamentais de X e Y são isomorfos, e por isso são o maior grupos de homotopia. Sem a suposição caminho-relação, a pessoa tem π 1 (X, x 0) isomorfo a π 1 (Y, f (x 0)), onde f: X → Y é uma equivalência de homotopia e x 0 em um determinado ponto X.
Um exemplo de uma invariante algébrico de espaços topológicos que não é homotopy invariante é homologia compactamente suportado (que é, em termos gerais, a homologia do compactification, e compactification não é homotopy-invariante).
Categoria Homotopia
A idéia de homotopia pode ser transformado em uma categoria formal da teoria da categoria. A categoria homotopy é a categoria cujos objetos são espaços topológicos, e cujos morfismos são classes de equivalência de homotopia de mapas contínuos. Dois espaços topológicos X e Y são isomorfos nesta categoria, se e somente se eles são homotopy-equivalente. Em seguida, uma funtor na categoria dos espaços topológicos homotopy é invariante se que pode ser expresso como uma funtor na categoria homotopy.
Por exemplo, grupos de homologia são uma invariante homotopy functorial: isto significa que se f e g de X para Y são homotópicos, em seguida, o homomorphisms grupo induzidas por f e g do nível de grupos de homologia são idênticas: H N (f) n = H (g): H N (X) → H n (Y) para todos os n. Da mesma forma, se X e Y são, além , então os homomorfismos de grupos ligados-path induzidas por f e g sobre o nível de grupos homotopia também são as mesmas: π n (f) = π n (g): π n (X) n → π (Y).
Homotopy Relativa
A fim de definir a grupo fundamental, é preciso a noção de homotopia relativa a um subespaço. Estes são homotopias que mantêm os elementos do subespaço fixo. Formalmente: se f e g são aplicações contínuas de X para Y e K é um subconjunto de X, então dizemos que f e g são em relação homotópico a K se existe uma homotopia H: X × [0,1] → Y entre F e G de tal modo que H (k, t) = F (k) = G (k) para todo k ∈ K e t ∈ [0,1]. Além disso, se o g é um retrair de X para K e F é o mapa de identidade, isto é conhecido como uma forte deformação retração de X a K.
Timelike homotopy
Em um Colector de Lorentz, determinadas curvas são distinguidos quanto timelike. A homotopy timelike entre duas curvas temporais é uma homotopia tal que cada curva intermediária é timelike. Não curva tipo tempo fechada (CTC) em um manifold Lorentzian é timelike homotópico a um ponto (ou seja, nulo homotópicos timelike); um tal colector, por conseguinte, é dito ser multiplamente conectada por curvas temporais. Um colector tal como o 3-esfera pode ser simplesmente conectado (por qualquer tipo de curva), e ainda assim ser timelike multiplamente conectada.
Propriedade de extensão Homotopia
Outra propriedade útil envolvendo homotopy é o propriedade de extensão homotopy, o que caracteriza a extensão de uma homotopia entre duas funções a partir de um subconjunto de um conjunto para o próprio conjunto. É útil quando se lida com cofibrations.
Isotopia
No caso de as duas funções contínuas dadas F e G do espaço topológico X para o espaço topológico Y são homeomorfismos , pode-se perguntar se eles podem ser conectados 'através de homeomorfismos'. Isto dá origem ao conceito de isotopia, que é um homotopy, H, na notação utilizada antes, de tal modo que para cada t fixo, H (x, t) dá um homeomorphism.
A exigência de que dois homeomorfismos ser isotópica realmente é uma exigência mais forte do que ser homotópico. Por exemplo, o mapa do unidade de disco em R 2 definida por f (x, y) = (- x, - y) é equivalente a um grau de 180 rotação em torno da origem, e de modo que o mapa de identidade e f são isotópica, porque eles podem ser ligados por rotações. No entanto, o mapa no intervalo [-1,1] em R definido por: f (x) = - x é não isotópico para a identidade. Genericamente falando, qualquer homotopy de f à identidade teria de trocar os pontos finais, o que significaria que eles teriam de 'atravessar' o outro. Além disso, f mudou a orientação do intervalo, portanto, não pode ser isotópica para a identidade.
Em topologia geométrica-for exemplo, na teoria dos nós -a idéia de isotopia é usado para construir relações de equivalência. Por exemplo, quando dois nós deve ser considerado o mesmo? Tomamos dois nós, K 1 e K 2, em três espaço dimensional. A ideia intuitiva de deformar um para o outro deve corresponder a um caminho de Homeomorfismos: uma isotopia começando com o homeomorphism identidade do espaço tridimensional, e terminando em uma homeomorphism, h, tal que h move K 1 a K 2. Um isotopia ambiente, estudado neste contexto, é uma isotopia do espaço maior, considerada à luz da sua acção sobre a subvariedade incorporado.
