Toro
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En geometría , un toro (pl. tori) es un superficie de revolución generado al girar un círculo en el espacio de tres dimensiones alrededor de un eje coplanar con el círculo. Si el eje de revolución no toque el círculo, la superficie tiene una forma de anillo y se llama un toro anillo o toroide simplemente si la forma de anillo está implícita.
Cuando el eje es tangente al círculo, la superficie resultante se llama un toro cuerno; cuando el eje es una cuerda del círculo, se le llama un toro de husillo. La caso degenerado es cuando el eje es un diámetro del círculo, que simplemente genera la superficie de una esfera . El toro anillo delimita un sólido denominado un toroide. El adjetivo toroidal se puede aplicar a toros, toroides o, más en general, cualquier forma de anillo como en inductores y transformadores toroidales. Ejemplos reales de (aproximadamente) objetos toroidales incluyen donas, vadais, cámaras de aire, bagels, muchos aros salvavidas, Juntas tóricas y anillos de vórtice.
En topología , un toro anillo es homeomorfo a la cartesiana producto de dos círculos : S 1 × S 1, y el segundo se toma para ser la definición en ese contexto. Es un compacto 2-colector de género 1. El anillo de toro es una forma de incrustar este espacio en el espacio euclidiano , pero otra manera de hacer esto es el producto cartesiano de la incrustación de S 1 en el plano. Esto produce un objeto geométrico llamado Toro de Clifford, superficie en 4-espacio.
La palabra toro viene del latín significado palabra cojín.
Geometría
Un toroide se puede definir paramétricamente por:
donde
- θ, φ son ángulos que forman un círculo completo, empezando en 0 y termina en 2π, por lo que sus valores comienzan y terminan en el mismo punto,
- R es la distancia desde el centro del tubo al centro del toro,
- r es el radio del tubo.
R y r son también conocidos como la "radio mayor" y "radio menor", respectivamente. La relación de los dos se conoce como la " relación de aspecto ". Un buñuelo tiene una relación de aspecto de aproximadamente 2 a 3.
Una ecuación implícita en coordenadas cartesianas de un toro radialmente simétrica sobre el z - eje es
o la solución de f (x, y, z) = 0, donde
Eliminando algebraicamente la raíz cuadrada da una ecuación de cuarto grado,
Las tres clases diferentes de Tori estándar corresponden a los tres posibles tamaños relativos de r y R. Cuando R> r, la superficie será el toro anillo familiar. El caso R = R corresponde al toro cuerno, que en efecto es un toro con ningún "agujero". El caso R <r describe el toro de husillo con intersecciones. Cuando R = 0, el toro degenera a la esfera.
La área de superficie y el interior del volumen de esta torus se calculan fácilmente usando Centroide dar el teorema de Pappus
Estas fórmulas son las mismas que para un cilindro de longitud 2π R y el radio r, creado por el corte del tubo y desenrollar por enderezar la línea que discurre alrededor del centro del tubo. Las pérdidas en la superficie y el volumen en el lado interior del tubo se cancelan exactamente a las ganancias sobre el lado exterior.
Como un toro es el producto de dos círculos, una versión modificada del sistema de coordenadas esféricas se utiliza a veces. En esférica tradicional coordenadas hay tres medidas, R, la distancia desde el centro del sistema de coordenadas y ángulos θ y φ, medidos desde el punto central. Como un toro tiene, efectivamente, dos puntos centrales, los puntos centrales de los ángulos se movió; φ mide el mismo ángulo que lo hace en el sistema esférico, pero se conoce como la dirección "toroidal". El punto central de θ se mueve al centro de r, y se conoce como la dirección "poloidal". Estos términos fueron utilizados por primera vez en una discusión sobre el campo magnético de la Tierra, donde se utilizó "poloidal" para denotar "la dirección hacia los polos". En uso moderno estos términos se utilizan con más frecuencia para discutir dispositivos de fusión por confinamiento magnético.
Topología
Topológicamente , un toro es un cerrado superficie definida como la producto de dos círculos : S 1 × S 1. Esto puede ser visto como tumbado en C 2 y es un subconjunto de la 3-esfera S 3 de radio √2. Este toro topológico también se llama a menudo la Clifford toro. De hecho, S 3 es llenado por una familia de Tori anidada de esta manera (con dos círculos degenerados), un hecho que es importante en el estudio de S 3 como una haz de fibras sobre S 2 (la Hopf paquete).
La superficie se ha descrito anteriormente, dada la topología relativa a partir de R 3, es homeomorfo a un toro topológico con tal de que no intersecta su propio eje. Un homeomorfismo particular está dada por proyectando estereográficamente toro topológico en R3 desde el polo norte de S 3.
El toro también puede ser descrito como una cociente del plano cartesiano bajo las identificaciones
- (X, y) ~ (x 1, y) ~ (x, y 1).
O, equivalentemente, como el cociente de la unidad cuadrada pegando los bordes opuestos entre sí, que se describe como un ABA polígono fundamental -1 B -1.
La grupo fundamental del toro es sólo el producto directo del grupo fundamental del círculo con sí mismo:
Intuitivamente hablando, esto significa que un cerrados camino que rodea el toro '"agujero" (por ejemplo, un círculo que traza una latitud particular) y luego rodea el toro' "cuerpo" (por ejemplo, un círculo que traza una longitud especial) se puede deformar a un camino que los círculos el cuerpo y luego el agujero. Por lo tanto, estrictamente "latitudinal 'y estrictamente caminos' 'longitudinales viaje. Esto puede ser imaginado como dos cordones que pasan a través de cada otro, entonces desenrollado, a continuación, el rebobinado.
Si un toro se pincha y se volvió del revés luego otros resultados toro, con líneas de latitud y longitud intercambiados.
La primera grupo de homología del toro es isomorfo al grupo fundamental (esto se desprende de Hurewicz teorema ya que el grupo es fundamental abeliano).
La cubierta de dos entoldados
El 2-toro-doble cubre la 2-esfera, con cuatro puntos de ramificación. Cada estructura conformacional en el 2-torus se puede representar como una cubierta de dos laminar de la 2-esfera. Los puntos en los torus correspondientes a los puntos de ramificación son el Puntos de Weierstrass. De hecho, el tipo de conformación del toro está determinada por la cross-relación de los cuatro puntos.
n toro -dimensionales
El toro tiene una generalización a dimensiones superiores, el n - toro dimensiones, a menudo llamados los n - toro o hypertorus para abreviar. (Este es uno de los dos significados diferentes del término "n -torus".) Recordando que el toro es el espacio producto de dos círculos, el toro n-dimensional es el producto de n círculos. Esto es:
El toro se discutió anteriormente es el torus 2-dimensional. El toro de 1 dimensión es sólo el círculo. Así como para el 2-torus, el n -torus puede ser descrito como un cociente de R n en virtud de cambios integrales en cualquier coordenadas. Es decir, el n -torus se R n módulo de la acción del número entero celosía Z n (con la acción que se tomó como la suma de vectores). De manera equivalente, el n -torus se obtiene de la n -dimensional hipercubo por encolado lo contrario se enfrenta juntos.
Un n -torus en este sentido es un ejemplo de un n-dimensional compacto colector . También es un ejemplo de un compacto abeliano Grupo de Lie. Esto se deduce del hecho de que la círculo unidad es un grupo de Lie compacto abeliano (cuando se identifica con la unidad de los números complejos con la multiplicación). La multiplicación de grupo en el toro se define entonces por la multiplicación de coordenadas se refiere.
Grupos toroidales juegan un papel importante en la teoría de la grupos de Lie compactos. Esto es debido en parte al hecho de que, en cualquier grupo de Lie compacto G siempre se puede encontrar una toro máximas; es decir, un cerrados subgrupo que es un toro de la dimensión más grande posible. Tal máxima tori T tiene un papel controlador para jugar en la teoría de G conectado.
Automorfismos de T se construyen fácilmente de automorfismos de la red Z n, que se clasifican por matrices integral M de tamaño n × n que son invertible con inversa integral; estos son sólo la M integral de determinante 1 o -1. Haciendo M acto en I n de la forma habitual, se tiene la automorfismo toral típico en el cociente.
La grupo fundamental de un n -torus es un grupo abeliano libre de rango n. El k-ésimo grupo de homología de un n -torus es un grupo abeliano libre de rango n elegir k. De ello se desprende que la característica de Euler de la n -torus es 0 para todo n. La anillo de cohomología H • (T n, Z) se puede identificar con la álgebra exterior sobre el Z - módulo Z n cuyos generadores son los duales de los ciclos n no triviales.
Espacio de configuración
Como el n -torus es el producto n -fold del círculo, la n es el -torus espacio de configuración de n ordenó, no necesariamente distintos puntos de la circunferencia. Simbólicamente, T n = (S 1) n. El espacio de configuración de puntos de no ordenadas, no necesariamente distintos es en consecuencia la orbifold T n / S n, que es el cociente del toro por el grupo simétrico de n letras (permutando las coordenadas).
Para n = 2, el cociente es el Cinta de Möbius, el borde correspondiente a los puntos orbifold donde las dos coordenadas coinciden. Para n = 3 este cociente se puede describir como un toroide sólido con sección transversal de una triángulo equilátero, con un toque; equivalentemente, como una prisma triangular cuyas caras superior e inferior están conectados con un toque ⅓ (120 °): corresponde a los interiores 3 dimensiones a los puntos de la 3-torus donde todas las 3 coordenadas son distintos, la cara 2-dimensional corresponde a puntos con coordenadas 2 iguales y el tercero diferente, mientras que el borde de 1 dimensión corresponde a puntos con los 3 coordenadas idénticas.
Estos orbifolds han encontrado significativa aplicaciones a la teoría de la música en la obra de Dmitri Tymoczko y colaboradores (Felipe Posada y Michael Kolinas, et al.), que se utilizan para modelar tríadas musicales.
Toro planas
El toro plana es un toro con la métrica heredado de su representación como la cociente, R 2 / Z 2, del plano cartesiano en virtud de las identificaciones (x, y) ~ (x 1, y) ~ (x, y 1). Esto le da la estructura de una Variedad de Riemann.
Esta métrica se puede realizar también por embeddings específicas de la familiarizado 2-torus en euclidiana 4-espacio o dimensiones superiores. Su superficie tiene cero Curvatura de Gauss en todas partes. Su superficie es "plana" en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es "plana". En 3 dimensiones se puede doblar una hoja de papel en un cilindro sin estirar el papel, pero no se puede luego doblar este cilindro en un toro sin estirar el papel (a menos que usted renuncia a algunas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, ver más abajo). En 4 dimensiones uno puede (matemáticamente).
Un simple 4 -d incrustación euclidiana es la siguiente: <x, y, z, w> = <r cos (u), R sen (u), cos P (v), P pecado (v)> donde R y P son constantes que determinan la relación de aspecto. Es difeomorfa a un toro regular, pero no isométrica. No puede ser isométricamente incrustado en euclidiana 3-espacio. Mapeo en 3-espacio que requiere para estirarla, en cuyo caso se ve como un toro regular, por ejemplo, el siguiente mapa <x, y, z> = <(R + P pecado (v)) cos (u) , (R + P sen (v)) sin (u), cos P (v)>.
A particiones toro planas las 3-esfera en dos congruentes subconjuntos tori sólidas con la superficie del toro plana antes mencionado como su común límite.
Recientemente se encontró (abril de 2012), una incrustación de un toro plano en tres dimensiones. Es similar en estructura a un fractal , ya que se construye ondular repetidamente un toro normal. Al igual que los fractales, que no se ha definido la curvatura de Gauss. Sin embargo, a diferencia de los fractales, que no han definido normales de la superficie.
n toro -fold
En la teoría de superficies hay otro objeto, el toro n -fold. En lugar del producto de n círculos, un torus n -fold es la suma conexa de n toros de 2 dimensiones. Para formar una suma conexa de dos superficies, eliminar de cada uno el interior de un disco y "pegamento" las superficies juntas a lo largo de círculos de contorno de los discos. Para formar la suma conexa de más de dos superficies, suma dos de ellos a la vez hasta que todos ellos están conectados. En este sentido, un n -torus se asemeja a la superficie de n anillos de espuma pegadas al lado del otro, o una 2-dimensional esfera con n asideros instalados.
Un toro ordinario es un toro 1 veces, un toro 2 veces se llama una dobles toro, a 3 veces un toro toro triples, y así sucesivamente. El toro n -fold se dice que es un " superficie orientable "de" género "n, el género es el número de tiradores. El toro 0 veces es el 2-dimensional esfera .
La teorema de clasificación para superficies establece que todo compacto superficie conectado es o bien una esfera, un toro -fold n con n> 0, o la suma conexa de n planos proyectivos (es decir, planos proyectivos más de los números reales ), con n> 0.
 dobles toro |  toro triples |
Toroidal poliedros
Poliedros con el tipo topológico de un toro se llaman poliedros toroidal, y satisfacer una versión modificada de la fórmula poliedro , E - F - V = 0.
El término "polydron toroidal" también se utiliza para una mayor género poliedros y para inmersiones de poliedros toroidal.
Automorfismos
La grupo homeomorfismo (o el subgrupo de difeomorfismos) del toro se estudia en topología geométrica. Su un grupo de clases de mapeo (el grupo de componentes conectados) es isomorfo al grupo GL (n, Z) de las matrices de enteros invertible, y puede ser realizado como mapas lineales en el espacio recubrimiento universal R n que preservan la norma celosía Z n (esto corresponde a coeficientes enteros) y así descender al cociente.
En el nivel de homotopy y la homología, el grupo de la clase de mapeo puede ser identificada como la acción en la primera homología (o equivalentemente, primero cohomología, o en el grupo fundamental, ya que estos son todos naturalmente isomorfo; Tenga en cuenta también que el primer grupo de cohomología genera el álgebra cohomología):
Dado que el toro es una Eilenberg-Mac Lane espacio K (G, 1), sus equivalencias homotopía, hasta homotopía, puede identificarse con automorfismos del grupo fundamental); que esto está de acuerdo con el grupo de clase cartografía refleja que todas las equivalencias de homotopía se pueden realizar por homeomorfismos - cada equivalencia de homotopía es homotópica a un homeomorfismo - y que homeomorfismos homotopic son de hecho isotópica (conectado a través de homeomorfismos, no sólo a través de equivalencias de homotopía). Más concisamente, el mapa Homeo (T n) → SHE (T n) es 1-conectado (isomorfo en el camino-componentes, en grupo fundamental). Se trata de un "homeomorfismo reduce a homotopía reduce al álgebra" número.
Así, el corta secuencia exacta del grupo de la clase de mapeo divide (una identificación del toro como el cociente de R n da una división, a través de los mapas lineales, como arriba):
por lo que el grupo homeomorfismo del toro es una producto semidirecto,
El grupo de la clase de mapeo de las superficies superiores género es mucho más complicado, y un área de investigación activa.
Colorear un toro
Si un toro se divide en regiones, entonces siempre es posible colorear las regiones con no más de siete colores de modo que las regiones vecinas tienen diferentes colores. (Compárese con el teorema de los cuatro colores para el avión .)
Cortar un torus
Un toro estándar (específicamente, un toro anillo) se puede cortar con n aviones en un máximo de
partes.
Las condiciones iniciales de esta secuencia de n a partir del 1 son:
- 2, 6, 13, 24, 40, ... (secuencia A003600 en OEIS ).
