Mandelbrot set

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Informações de fundo

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Imagem inicial de uma sequência set zoom Mandelbrot com o ambiente continuamente colorido

O conjunto de Mandelbrot é um conjunto de aponta no plano complexo , o limite de que forma um fractal . Matematicamente, o conjunto de Mandelbrot pode ser definida como o conjunto de valores A c complexas para as quais a órbita de 0 sob iteração do complexo quadrático polinômio x _{n + 1} = ² x _n + c restos delimitada.

Eg. c = 1 dá a sequência de 0, 1, 2, 5, 26, ... que leva até ao infinito. Como esta sequência é ilimitado, 1 não é um elemento do conjunto de Mandelbrot.

Por outro lado, c = i dá a sequência de 0, i, (-1 + i), -i, (-1 + i), -i ... que é delimitada, e, portanto, pertence ao grupo de Mandelbrot.

Quando calculada e representada graficamente no plano complexo, o grupo de Mandelbrot é visto como tendo um limite de elaborada, que não simplifica a qualquer dado ampliação. Isso qualifica a fronteira como um fractal.

O conjunto de Mandelbrot tornou-se fora populares matemática tanto por seu apelo estético e por ser uma estrutura complicada decorrente de uma definição simples. Benoît Mandelbrot e outros trabalharam duro para se comunicar esta área da matemática para o público.

História

O conjunto de Mandelbrot tem seu lugar na dinâmicas complexas, um campo primeiro investigado pelos matemáticos franceses Pierre Fatou e Gaston Julia no início do século 20. As primeiras fotos dele foram desenhados em 1978 por Robert Brooks e Peter Matelski como parte de um estudo de Grupos kleinianas.

Mandelbrot estudou o parâmetro de espaço polinômios quadráticos em um artigo que apareceu em 1980. O estudo matemático do grupo de Mandelbrot realmente começou com o trabalho pelos matemáticos Adrien Douady e John H. Hubbard, que estabeleceu muitas das suas propriedades fundamentais e nomeou o set em honra de Mandelbrot.

Os matemáticos Heinz-Otto e Peitgen Peter Richter tornou-se conhecido por promover o set com fotografias brilhantes, livros, e uma galeria de touring.

O artigo de capa do agosto 1985 Scientific American apresentou uma imagem criada por Mandelbrot, Peitgen, e Hubbard.

O trabalho de Douady e Hubbard coincidiu com um aumento enorme no interesse na dinâmica complexa e matemática abstrata, eo estudo do conjunto de Mandelbrot tem sido uma peça central deste campo desde então. Uma lista exaustiva de todos os matemáticos que têm contribuído para a compreensão desse conjunto, desde então, está além do escopo deste artigo, mas essa lista inclui, nomeadamente, Mikhail Lyubich,, Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura, e Jean-Christophe Yoccoz.

Definição formal

O conjunto de Mandelbrot $M$ é definido por uma família de polinômios quadrática complexa

$P_c: \ mathbb C \ a \ mathbb C$

dado por

$P_c: z \ mapsto z ^ 2 + c$ ,

onde $c$ é um parâmetro complexo. Para cada $c$ , Considera-se o comportamento da sequência $(0, P_c (0), P_c (P_c (0)), P_c (P_c (P_c (0))), \ ldots)$ obtido pela iterating $P_c (z)$ Começando às ponto crítico $z = 0 \,$ , Que quer escapa ao infinito ou fica dentro de um disco de algum raio finito. O conjunto de Mandelbrot é definido como o conjunto de todos os pontos $c$ de tal modo que a sequência de cima não escapa para o infinito.

A representação do matemático do grupo de Mandelbrot M, um ponto c é de cor preta, se ele pertence ao conjunto, e branco se não. Re [c] e Im [c] denotam as partes real e imaginária de c.

Mais formalmente, se $P_c ^ {\ circ n} (z)$ denota o n º de iterate $P_c (z)$ (Ou seja $P_c (z)$ composto com si n vezes), o conjunto de Mandelbrot é o subconjunto do plano complexo dada por

$M = \ \ left {c \ in \ mathbb C: \ sup_ {n \ in \ mathbb N} | P_c ^ {\ n} circ (0) | <\ infin \ right \}.$

Matematicamente, o conjunto de Mandelbrot é apenas um conjunto de números complexos. Um determinado número complexo $c$ ou pertencente a $M$ ou não. Uma imagem do conjunto de Mandelbrot pode ser feita por coloração todos os pontos $c$ que pertencem $M$ preto, e todos os outros pontos de branco. As imagens mais coloridas geralmente vistos são gerados por pontos corantes não no conjunto de acordo com o quão rápida ou lentamente a seqüência $| P_c ^ {\ n} circ (0) |$ diverge para o infinito. Veja a seção sobre desenhos de computador abaixo para mais detalhes.

O conjunto de Mandelbrot também pode ser definida como a conexão locus da família de polinómios $P_c (z)$ . Isto é, é o subconjunto do plano complexo que consiste naqueles parâmetros $c$ para o qual o Julia conjunto de $P_c$ é ligado.

Propriedades básicas

O conjunto de Mandelbrot é um conjunto compacto , contida no disco fechado de raio de 2 em torno da origem. Na verdade, um ponto $c$ pertence ao conjunto de Mandelbrot, se e somente se $| P_c ^ {\ n} circ (0) | \ leq 2$ para todos $n \ geq 0$ . Em outras palavras, se o valor absoluto de $P_c ^ {\ n} circ (0)$ nunca se torna maior do que 2, a sequência vai escapar para o infinito.

A correspondência entre o grupo de Mandelbrot eo mapa logístico

O cruzamento de $M$ com o eixo real é precisamente o intervalo $[-2, 0.25] \,$ . Os parâmetros ao longo deste intervalo pode ser colocado em um-para-um correspondência com aqueles do real família logística,

$z \ mapsto \ lambda z (1-z), \ quad \ lambda \ in [1,4]. \,$

A correspondência é dada pela

$c = \ frac {1 - (\ lambda-1) ^ 2} {4}.$

Na verdade, isto dá uma correspondência entre todo o espaço de parâmetros da família logística e que do conjunto de Mandelbrot.

A área do conjunto de Mandelbrot é estimada em 1,506 ± 0,000 77 591 000 08.

Douady e Hubbard têm mostrado que o conjunto de Mandelbrot é ligado. Na verdade, eles construíram uma explícita isomorfismo conformada entre o complemento do conjunto de Mandelbrot e o complemento do disco unidade fechada. Mandelbrot tinha inicialmente suspeitado de que o conjunto de Mandelbrot é desconectado. Esta conjectura foi baseado em imagens de computador gerados por programas que não são capazes de detectar os filamentos finos que ligam diferentes partes $M$ . Após mais experimentos, ele revisou sua conjectura, decidindo que $M$ deve ser conectado.

A fórmula para a dinâmica uniformização do complemento do conjunto de Mandelbrot, decorrente de Douady e Hubbard prova da conexão de $M$ , Dá origem a raios externos do grupo de Mandelbrot. Estes raios podem ser utilizados para estudar o conjunto Mandelbrot em termos combinatórios e formar a espinha dorsal da Yoccoz parapuzzle.

O limite do conjunto de Mandelbrot é exatamente o bifurcação lócus da família quadrática; isto é, o conjunto de parâmetros $c$ para os quais a dinâmica muda abruptamente sob pequenas alterações de $c.$ Pode ser construído como o limite definido de uma sequência de curvas algébricas planas, as curvas de Mandelbrot, do tipo geral conhecido como lemniscates polinomiais. As curvas Mandelbrot são definidos pela configuração p ₀ = z, p = _n p _n-1 + Z ^2, e, em seguida, interpretando o conjunto de pontos | p _n (z) | = 1 no plano complexo, como uma curva no real cartesiano plano de grau 2 ^{n + 1} em x e y.

Outras propriedades

Os principais cardioides e período bulbos

Períodos de componentes hiperbólicas

Ao olhar para uma imagem do conjunto de Mandelbrot, um imediatamente percebe a grande cardióide região em forma no centro. Este cardióide principal é a região de parâmetros $c$ para qual $P_c$ tem um atraindo ponto fixo. Ele consiste de todos os parâmetros de forma

$c = \ frac {1 - (\ mu-1) ^ 2} {4}$

para alguns $\ Mu \,$ no disco unidade aberta.

À esquerda do cardióide principal, ligada a ela no ponto $c = -3/4$ , Uma lâmpada de forma circular é visível. Esta lâmpada é composto por esses parâmetros $c \,$ para qual $P_c$ tem um atraindo ciclo de período 2. Este conjunto de parâmetros é um círculo real, ou seja, que de raio em torno de 1/4 -1.

Há infinitamente muitos outros tangente lâmpadas ao cardióide principal: para cada número racional $\ Frac {p} {q}$ , Com p e q primos entre si, não há tal lâmpada que é tangente ao parâmetro

$c _ {\ frac {p} {q}} = \ frac {1 - \ left (e ^ {2 \ pi i \ frac {p} {q}} - 1 \ right) ^ 2} {4}.$

Atrair ciclo em 05/02 de bolbo traçados ao longo de Julia set (animação)

Este bolbo é chamado o $\ Frac {p} {q}$ -bulb do grupo de Mandelbrot. É constituída de parâmetros que têm um ciclo de atrair período $q$ e número de rotação combinatória $\ Frac {p} {q}$ . Mais precisamente, o $q$ periódico Fatou componentes que contêm o ciclo atraindo todos toque em um ponto comum (comumente chamado de $\ Alpha \,$ ponto -Fixed). Se nós rotular estes componentes $U_0, \ pontos, U_ {q-1}$ na orientação anti-horário, em seguida $P_c$ mapeia o componente $U_j$ para o componente $U_ {j + p \, (\ operatorname {modificação} q)}$ .

Atrair ciclos e conjuntos de Julia para os parâmetros nos 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4, 1/5 e bulbos

A mudança de comportamento que ocorre no $c _ {\ frac {p} {q}}$ é conhecido como um bifurcação: os atraindo ponto fixo "colide" com um q -Ciclo período repelente. À medida que passam através do parâmetro de bifurcação para o $\ Frac {p} {q}$ -bulb, o ponto fixo atraindo se transforma em um ponto de repulsão fixo (o $\ Alpha$ ponto -Fixed), eo período -Ciclo q torna-se atrair.

Componentes hiperbólicas

Todas as lâmpadas que encontramos na seção anterior eram componentes interiores do conjunto de Mandelbrot em que os mapas $P_c \,$ tem um ciclo periódico atraindo. Esses componentes são chamados de componentes hiperbólicas.

Conjectura-se que estas são as únicas regiões do interior $M$ . Este problema, conhecido como densidade de hiperbolicidade, pode ser aberto o problema mais importante no campo da dinâmica de complexos. Componentes não-hiperbólicos hipotético do conjunto de Mandelbrot são muitas vezes referidos como componentes "queer".

Para polinômios quadráticos reais, esta pergunta foi respondida positivamente na década de 1990 de forma independente por Lyubich e por Graczyk e Świątek. (Note-se que componentes hiperbólicas de interseção do eixo reais correspondem exactamente às janelas periódicas no Diagrama de Feigenbaum. Portanto, este resultado indica que essas janelas existem perto de cada parâmetro no diagrama.)

Nem todos os componentes hiperbólica pode ser alcançado por uma sequência de bifurcações diretos do principal cardióide do conjunto de Mandelbrot. No entanto, esse componente pode ser alcançado por uma sequência de bifurcações directas da principal cardioid de um pouco de cópia Mandelbrot (veja abaixo).

Ligações locais

Conjectura-se que o conjunto de Mandelbrot é localmente ligado. Esta conjectura famoso é conhecido como MLC (por Mandelbrot Conectada localmente). Pelo trabalho de Adrien Douady e John H. Hubbard, essa conjectura resultaria em um modelo simples abstrato "disco pinçado" do conjunto de Mandelbrot. Em particular, isso implicaria a conjectura hiperbolicidade importante mencionado acima.

O célebre obra de Jean-Christophe Yoccoz estabelecido conectividade local do grupo de Mandelbrot em todos os finito-renormalizável parâmetros; isto é, falando grosseiramente, aquelas que estão contidos apenas em um número finito de pequenas cópias Mandelbrot. Desde então, a conectividade local tem sido provado em muitos outros pontos de $M$ , Mas a conjectura completa ainda está aberta.

Auto-similaridade

Similaridade auto no Mandelbrot mostrado por zoom em um recurso rodada enquanto percorre em sentido negativo-X. As panelas centro de exibição de (-1,0) a (-1.31,0) enquanto a vista magnifica de 0,5 x 0,5-0,12 x 0,12 para aproximar a Rácio de Feigenbaum $\ Delta$ .

Auto-similaridade em torno do ponto -.1011 + .9563i Misiurewicz.

O conjunto de Mandelbrot é auto-similar sob ampliação nos bairros da Misiurewicz pontos. É também para ser conjecturado auto-semelhante ao redor generalizada Feigenbaum pontos (por exemplo, -1,401155 ou -.1528 + 1.0397i), no sentido de convergir para um conjunto limite.

Quasi-auto-similaridade no conjunto de Mandelbrot

O conjunto de Mandelbrot, em geral, não é estritamente auto-semelhante, mas que é quase auto-semelhante, como pequenas versões ligeiramente diferentes de si podem ser encontrados em pequenas escalas arbitrariamente.

As pequenas cópias do conjunto de Mandelbrot são todos um pouco diferente, principalmente por causa dos fios finos que ligam-los para o corpo principal do conjunto.

Mais resultados

O Dimensão do hausdorff limite do conjunto de Mandelbrot é igual a 2, tal como determinado por um resultado de Mitsuhiro Shishikura. Não se sabe se o limite do jogo de Mandelbrot tem planar positiva Medida de Lebesgue.

No Modelo Blum-Shub-Smale de computação real, o conjunto de Mandelbrot não é computável, mas seu complemento é computably enumeráveis. No entanto, muitos objectos simples (por exemplo, o gráfico de exponenciação) também não são calculável no modelo BSS. No momento não se sabe se o conjunto de Mandelbrot é computável em modelos de computação real com base no análise computável, que correspondem mais de perto com a noção intuitiva de "traçar o conjunto por um computador." Hertling mostrou que o conjunto de Mandelbrot é computável neste modelo, se a conjectura hiperbolicidade é verdade.

Relacionamento com conjuntos de Julia

Um "set Julia incorporado"

Como uma consequência da definição do conjunto de Mandelbrot, existe uma correspondência próxima entre a geometria do conjunto de Mandelbrot num dado ponto e a estrutura das correspondentes Julia definido.

Este princípio é explorada no resultado de praticamente todos profundas sobre o conjunto de Mandelbrot. Por exemplo, Shishikura prova que, para um conjunto denso de parâmetros no limite do conjunto de Mandelbrot, o conjunto de Julia tem Dimensão hausdorff dois, e, em seguida, transfere esta informação ao plano de parâmetro. Da mesma forma, Yoccoz primeira prova a conectividade local de conjuntos de Julia, antes de estabelecer-lo para o grupo de Mandelbrot com os parâmetros correspondentes. Adrien Douady frases este princípio como

Plough no plano dinâmico e colheita no espaço de parâmetros.

Geometria

períodos de ciclo e antenas

Lembre-se que, para cada número racional $\ Frac {p} {q}$ , Onde $p$ e $q$ são relativamente primos, existe um componente de hiperbólica período $q$ bifurcando do cardióide principal. A parte do conjunto de Mandelbrot ligado ao cardióide principal neste ponto de bifurcação é chamado de p / q-membro. Computador experiências sugerem que o diâmetro do membro tende para zero como $\ Frac {1} {q ^ 2}$ . A melhor estimativa atual é conhecido o famoso Yoccoz-desigualdade, que afirma que o tamanho tende a zero como $\ Frac {1} {q}$ .

Um período $q$ -limb terá $q-1$ "Antenas" na parte superior de seu membro. Podemos, assim, determinar o período de uma determinada lâmpada contando essas antenas.

Generalizações

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Multibrot definido com d mudando 0-8

Às vezes, a conexão de outros loci do que a família quadrática famílias também são referidos como o Mandelbrot define dessas famílias.

O loci conexão das famílias polinomiais unicritical $f_c = z ^ d + c \,$ para $d> 2$ são freqüentemente chamados de conjuntos Multibrot.

Conjuntos Multibrot de graus 3 e 4

Para as famílias gerais de funções holomorfas, o limite do conjunto de Mandelbrot generaliza para o locus de bifurcação, que é um objecto natural para estudar mesmo quando o locus de ligação não é útil.

Também é possível considerar a construções semelhantes no estudo de mapeamento não analíticos. De particular interesse é o tricorn, o locus conexão da família anti-holomorphic

$z \ mapsto \ bar {z} ^ 2 + c. \,$

O tricorn (também chamado às vezes o conjunto Mandelbar) foi encontrado por Milnor em seu estudo sobre fatias de parâmetros de polinômios cúbicos reais. Não está ligado localmente. Esta propriedade é herdada pelo locus conexão de polinômios cúbicos reais.

Desenhos de computador

Método Buddhabrot

Imagem fixa de um filme de aumentar a ampliação em 0,001643721971153 + 0.822467633298876i

Algoritmos:

Escapar algoritmo de tempo
- versão boolean (chama M-set e seu exterior usando 2 cores) = algoritmo de Mandelbrot
- discreta (inteiro) version = método de ajuste do nível (LSM / M); chama set e cor bandas Mandelbrot em seu exterior
- versão contínua
- versão curvas de nível = empates lemniscates de Mandelbrot = limites de conjuntos de nível
- decomposição do exterior de Mandelbrot set
potencial complexo
- Hubbard-Douady (real) potencial de Mandelbrot set (CPM / M) - parte radial do potencial complexo
- ângulo externo de Mandelbrot set - parte angular do potencial complexo
- abstrato set-M
Método de estimação Distância de Mandelbrot set
- distância estimativa exterior = algoritmo Milnor (DEM / M)
- interior estimativa distância
algoritmo usado para explorar interior de Mandelbrot set
- período de componentes hiperbólicas
- multiplicador da órbita periódica (raios internos (ângulo) e raio intenal)
- bof61 e bof60

Cada algoritmo pode ser implementado em ou sequencial versão paralela. Simetria de espelho pode ser utilizada para cálculos de velocidade plano .

Wikibooks tem um livro sobre o tema de: Fractals

Escapar algoritmo de tempo

O algoritmo mais simples para a geração de uma representação do conjunto de Mandelbrot é conhecida como o algoritmo de "escapar tempo". Um cálculo de repetição é executada para cada ponto x, y na área do terreno e com base no comportamento de cálculo que, uma cor é escolhido para o pixel.

O X e Y localização de cada ponto de partida são utilizados como valores de repetição, ou iteração de cálculo (descrito em detalhe abaixo). O resultado de cada iteração seja usado como os valores iniciais para a próxima. Os valores são verificados durante cada iteração para ver se eles atingiram um estado crítico 'escape'. Se esta condição é atingida, o cálculo for interrompido, o elemento de imagem é tirada, e os próximos ponto x, y é examinada. Para alguns valores iniciais, escape ocorre rapidamente, depois de apenas um pequeno número de iterações. Para outros valores a partir, pode levar centenas ou milhares de iterações para escapar. Para valores dentro do conjunto de Mandelbrot, escape nunca ocorrerá. O programador ou usuário deve escolher a quantidade de interação, ou 'profundidade', eles deseja examinar. Quanto maior o número máximo de iterações, mais detalhes e sutileza surgem na imagem final, mas quanto mais tempo vai demorar para calcular a imagem.

A cor de cada ponto representa a rapidez com que os valores atingiram o ponto de fuga. Muitas vezes, o preto é usado para mostrar valores que não conseguem escapar antes do limite de iteração e cores gradualmente mais brilhantes são usados para pontos que escapam. Isto dá uma representação visual de quantos ciclos foram necessários antes de alcançar a condição de fuga.

Para programadores

A definição do conjunto de Mandelbrot, juntamente com as suas propriedades básicas, sugere um algoritmo simples para fazer um desenho do conjunto de Mandelbrot. A região do plano complexo que estamos a considerar é subdividida em um certo número de pixels. Para colorir qualquer pixel, deixe- $c \,$ Ser o ponto médio daquele pixel. Temos agora uma iteração do valor crítico $c \,$ sob $P_c \,$ , Verificando a cada passo se o ponto de órbita tem módulo maior do que 2.

Se este for o caso, sabemos que o O ponto médio não pertencem ao conjunto de Mandelbrot, e nós colorir nosso pixel. (Ou nós colorir branco para obter a imagem matemática simples ou colori-la de acordo com o número de iterações usadas para obter as imagens coloridas conhecidas). Caso contrário, continuamos a iteração por um determinado (grande, mas fixo) número de passos, após o que nós decidimos que o nosso parâmetro é "provavelmente" no conjunto de Mandelbrot, ou pelo menos muito próximo a ele, e colorir o pixel preto.

Em pseudocódigo, este algoritmo ficaria da seguinte forma.

 Para cada pixel na tela fazer: {x = x0 = x coordenada de pixels y = y0 = y coordenada de pixel de iteração = 0 max_iteration = 1000 enquanto (x * x + y * y <= (2 * 2 ) E iteração <max_iteration) {xtemp = x * x - y * y + x0 y = 2 * x * y + x = y0 xtemp iteração = iteração + 1} if (iteração == max_iteration), então color = cor mais preto = iteração plot (x0, y0, cor)}

onde, para relacionar o pseudocódigo $c \,, z \,$ e $P_c \,$ :

$z = x + iy$
$z ^ 2 = x ^ 2 + i2xy - y ^ 2$
$c = x0 + iy0$

e por isso, como pode ser visto no pseudocódigo no cálculo de x e y:

$x = Re (z ^ 2 + c) = x ^ 2-y ^ 2 + x0$ e y = $Im (z ^ 2 + c) = 2xy + y0$

Para obter imagens coloridas do conjunto, a atribuição de uma cor para cada valor do número de iterações executadas podem ser feitas utilizando um de uma variedade de funções (linear, exponencial, etc). Uma maneira prática de fazê-lo, sem abrandar os cálculos, é usar o número de iterações executadas como uma entrada para uma tabela paleta de cores de consulta inicializado na inicialização. Se a tabela de cores tem, por exemplo, 500 entradas, então você pode usar n mod 500, onde n é o número de iterações, para selecionar a cor a ser usada. Você pode inicializar a matriz paleta de cores de várias maneiras diferentes, dependendo do que característica especial do comportamento de fuga que você deseja enfatizar graficamente.

Contínuo coloração (liso)

Esta imagem foi rendida com a Fuga Tempo Algorithm. Observe os muito óbvias "bandas" de cor.

Esta imagem foi rendida com a iteração Normalizada Contagem Algorithm. Observe as faixas de cores foram substituídas por um degradê suave.

Outro exemplo do algoritmo de iteração Normalizada Contagem. Note-se que não existe qualquer efeito de sombreamento; todas as cores fluir para o outro. Além disso, as cores assumem o mesmo padrão que seria observado caso o Escape Tempo algoritmo foi utilizado.

The Escape Tempo Algoritmo é popular por sua simplicidade. No entanto, ele cria faixas de cores, que pode diminuir o valor de uma imagem. Isso pode ser corrigido usando o Normalized contagem de iteração do algoritmo, que prevê uma transição suave de cores entre iterações. A equação é

$n + \ frac {\ ln (2 \ ln (B)) - \ ln (\ ln (| z |))} {\ ln (P)}$

onde n é o número de iterações para z, B é o raio de resgate (que é normalmente dois para um conjunto de Mandelbrot, mas que pode ser alterado), e P é a potência para o qual Z é gerado no conjunto de Mandelbrot equação (z _n = ₁ z _n ^P + C, P é geralmente 2). Outra equação para esta é

$n + 1- \ frac {\ ln (\ ln (| z |))} {\ ln (2)}.$

Note-se que esta nova equação é mais simples do que o primeiro, mas ele só funciona para conjuntos de Mandelbrot com um raio de resgate de 2 e uma potência de 2.
Embora este algoritmo é relativamente simples de implementar (usando equação), existem algumas coisas que têm de ser tomadas em consideração. Em primeiro lugar, as duas equações retornar um fluxo contínuo de números. No entanto, cabe a você decidir sobre a forma como os valores de retorno será convertida em uma cor. Algum tipo de método para a fundição de estes números em um gradiente deve ser desenvolvido. Por outro lado, recomenda-se que em alguns iterações adicionais são feitas de modo a que z pode crescer. Se parar a iteração assim que escapa z, não há a possibilidade de que o algoritmo de suavização não irá funcionar.

Estimativas de distância

Pode-se calcular a distância a partir do ponto c (em exterior ou interior) até ao ponto mais próximo da limite de Mandelbrot.

Estimativa Exterior distância

A prova da ligação do conjunto de Mandelbrot, de facto, dá uma fórmula para a uniformizaï¿½o mapa do de complemento $M$ (E o derivado deste mapa). Pelo Koebe 1/4 teorema, pode-se então calcular a distância entre o ponto médio do nosso pixels e o grupo de Mandelbrot até um fator de quatro.

Em outras palavras, desde que o número máximo de iterações é suficientemente elevado, obtém-se uma imagem do Mandelbrot com as seguintes propriedades:

Cada pixel, que contém um ponto do conjunto de Mandelbrot é de cor preta.
Cada pixel, que é de cor preta fica perto do conjunto de Mandelbrot.

Estimativa Exterior distância pode ser usado para colorir toda complemento de Mandelbrot set

A estimativa de distância de um c pixel (um número complexo) a partir do conjunto de Mandelbrot é dada por

$b = \ lim_ {n \ to \ infty} 2 \ cdot \ ln (\ meados {P_c ^ {\ circ n} (c)} \ mid) \ cdot \ frac {\ meados {P_c ^ {\ n} circ ( c)} \ meados} {\ mid \ frac {\ partial} {\ partial {c}} {P_c ^ \ circ n} (c) \ meados}$

onde

$P_c (z) \,$ apoia polinomial quadrática complexa
$P_c ^ {\ circ n} (c)$ significa n iterações de $P_c (z) \ to z$ ou $z ^ 2 + c \ to z$ , Começando com Z = c: $P_c ^ {\ circ 0} (c) = c$ , $P_c ^ {\ circ n + 1} (c) = P_c ^ {\ circ n} (c) ^ 2 + c$ ;
$\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} {P_c ^ \ circ n} (c)$ é o derivado de $P_c ^ {\ circ n} (c)$ no que diz respeito a c. Este derivado pode ser encontrado a partir de $\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} {P_c ^ \ circ 0} (c) = 1$ e depois $\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} {P_c ^ \ circ n + 1} (c) = 2 \ cdot {} {P_c ^ \ circ n} (c) \ cdot \ frac {\ partial} { \ parcial {c}} {P_c ^ \ circ n} (c) + 1$ . Isso pode ser facilmente verificada usando a regra da cadeia para o derivado.

Do ponto de vista de um matemático, esta fórmula só funciona no limite em que n vai para o infinito, mas as estimativas muito razoáveis podem ser encontrados com apenas algumas iterações adicionais após as principais saídas de loop.

Uma vez b for encontrado, pelo Koebe 1/4-teorema, sabemos não há nenhum ponto de o grupo de Mandelbrot com a distância c menor do que b / 4.

Estimativa distância Interior

Pixels coloridos de acordo com a distância estimada interior

Também é possível calcular a distância de um (ou seja, interior) ponto limitly periódica para o limite do jogo de Mandelbrot. A estimativa é dada por $b = \ frac {1 \ meados {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ p} (z_0)} \ mid ^ 2} {\ meados {\ frac {\ partial} { \ parcial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ p} (z_0) + \ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ frac {\ partial} { \ partial z}} {P_c ^ {\ circ p} (z_0) \ frac {\ frac {\ partial} {\ partial {c}} {P_c ^ \ circ p} (z_0)} {1- \ frac {\ parcial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ p} (z_0)}} \ meados}$

onde

$p$ é o período,
$c$ é o ponto a ser estimada,
$P_c (z)$ é o polinomial quadrática complexa $P_c (z) = z ^ 2 + c$
$P_c ^ {\ circ p} (z_0)$ é $p$ composições $P_c (z) \ to z$ , Começando com $P_c ^ {\ circ 0} (z) = z_0$
$z_0$ é qualquer de a $p$ pontos que fazem a atrator das iterações $P_c (z) \ to z$ começando com $P_c ^ {\ circ 0} (z) = c$ ; $z_0$ satisfaz $z_0 = P_c ^ {\ circ p} (z_0)$ ,
$\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ p} (z_0)$ , $\ Frac {\ partial} {\ partial z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ p} (z_0)$ , $\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} {P_c ^ \ circ p} (z_0)$ e $\ Frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ p} (z_0)$ são derivados de várias $P_c ^ {\ circ p} (z)$ , Avaliado em $z_0$ .

Dado $p$ e $z_0$ , $P_c ^ {\ circ p} (z_0)$ e seus derivados pode ser avaliada por:

$\ Begin {align} \ frac {\ partial} {\ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = 0 & \\ \ frac {\ parcial} {\ partial z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = 0 & \\ \ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = 0 & \\ \ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = 1 & \\ P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = & z_0 \ end {align}$
$\ Begin {align} \ frac {\ partial} {\ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ n + 1} (z_0) & = 2 \ cdot (\ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ n} circ (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ n} circ (z_0) + P_c ^ {\ n} circ (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ n} circ (z_0)) \\ \ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ n + 1} (z_0) & = 2 \ cdot (\ frac {\ partial} { \ partial z}} {P_c ^ {\ n} circ (z_0) ^ 2 + P_c ^ {\ n} circ (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ n} circ (z_0)) \\ \ frac {\ partial} {\ partial {c}} {P_c ^ \ circ n + 1} (z_0) & = 2 \ cdot P_c ^ {\ n} circ (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ n} circ (z_0) + 1 \\ \ frac {\ partial} {\ partial {z }} {P_c ^ \ circ n + 1} (z_0) & = 2 \ cdot P_c ^ {\ n} circ (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial z}} {P_c ^ {\ circ n } (z_0) \\ P_c ^ {\ circ n + 1} (z_0) & = P_c ^ {\ n} circ (z_0) ^ 2 + c \ end {align}$ .

Análogo ao caso exterior, uma vez que b é encontrado, sabemos que todos os pontos dentro da distância de b / c de 4 estão dentro do grupo de Mandelbrot.

Há dois problemas práticos com a estimativa interior distância: em primeiro lugar, temos de encontrar $z_0$ precisamente, e em segundo lugar, precisamos encontrar $p$ precisamente. O problema com $z_0$ é que a convergência de $z_0$ por iteração $P_c (z)$ requer, teoricamente, um número infinito de operações. O problema com o período que é, por vezes, devido a erros de arredondamento, de um período é falsamente identificado para ser um múltiplo inteiro do período real (por exemplo, é detectado um período de 86, enquanto que o período real é apenas 43 = 86/2) . Nesse caso, a distância é superestimado, ou seja, o raio relatado poderia conter pontos fora do grupo de Mandelbrot.

Visualização em 3D: menor valor absoluto da órbita dos pontos interiores do conjunto de Mandelbrot

Otimizações

Uma forma de melhorar cálculos é saber de antemão se a dado ponto está dentro do cardióide ou no bulbo período-2.

Para evitar ter que fazer um grande número de iterações para outros pontos do conjunto, pode-se fazer a verificação "periodicidade" significa -Quais verificar se um ponto alcançado na iteração um pixel foi alcançado antes. Se assim for, o pixel não pode divergir, e deve estar no conjunto. Esta é a mais relevante para cálculos de ponto fixo, onde há uma relativamente grande chance de tal periodicidade-a cheia de ponto flutuante (ou de alta precisão) implementação raramente iria entrar em tal período.

Verificação periodicidade é, naturalmente, um trade-off: A necessidade de memorizar os aspectos custa instruções de memória e gerenciamento de dados, ao passo que ele salva instruções computacionais

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Mandelbrot set

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Outras propriedades

Os principais cardioides e período bulbos

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