Equação de Schrödinger

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Mecânica quântica
Dualidade onda-partícula
Introdução Glossário · História
Fundo Notação Bra-ket A mecânica clássica Hamiltonian Interferência Velha teoria quântica
Conceitos fundamentais Complementaridade Decoherence Não-localidade Estado quântico Sobreposição Tunnelling Incerteza Função de onda
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Formulações Formulações Heisenberg Interação Mecânica matricial Schrödinger Soma de histórias Espaço de fase
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Em física , especialmente a mecânica quântica , a equação de Schrödinger é uma equação que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda no tempo. É como central para a mecânica quântica como as leis de Newton são a mecânica clássica .

Na interpretação padrão da mecânica quântica, o estado quântico, também chamado de função de onda ou estado do vetor, é a descrição mais completa que pode ser dado a um sistema físico. As soluções para a equação de Schrödinger descrever sistemas atômicas e subatômicas, elétrons e átomos, mas também sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo. A equação é nomeado após Erwin Schrödinger, que a descobriu em 1926.

A equação de Schrödinger pode ser matematicamente transformada em Heisenberg mecânica da matriz, e para o Caminho formulação integrante de Feynman. A equação Schrödin descreve tempo de uma forma que é inconveniente para teorias relativistas, um problema que é menos grave em formulação de Heisenberg e completamente ausente no caminho integral.

A equação de Schrödinger

Existem várias equações Schrödinger diferentes.

Sistema quântico Geral

Para um sistema quântico geral:

$i \ hbar {d \ Psi \ over dt} = \ hat H \ Psi$

onde

$\ Psi$ é o função de onda, que é a amplitude de probabilidade para os diferentes configurações.
$\ Scriptstyle \ hbar$ é Sobre a constante de Planck $2 \ pi$ , E pode ser ajustado para um valor de um quando se utiliza unidades naturais.
$\ Scriptstyle \ hat H$ é o Hamiltonian operador.

Única partícula em três dimensões

Para uma única partícula em três dimensões:

$i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ psi + V (x, y, z) \ psi$

onde

$\ Psi$ é a função de onda, que representa a amplitude para que a partícula tem uma dada posição em qualquer dado momento.
$m$ é a massa da partícula.
$V (x, y, z)$ é a energia potencial da partícula tem em cada posição.

Contexto histórico e desenvolvimento

Einstein interpretado Planck quanta 's como os fótons , partículas de luz, e propôs que a energia de um fóton é proporcional à sua frequência, uma misteriosa dualidade onda-partícula . Desde energia e momento são relacionados da mesma maneira como a frequência e número de onda em relatividade, seguia-se que o impulso de um fóton é proporcional ao seu número de onda.

DeBroglie hipótese de que isso é verdade para todas as partículas, para os elétrons, assim como os fótons, que a energia eo momento de um elétron são a frequência e número de onda de uma onda. Assumindo que as ondas viajam aproximadamente ao longo de caminhos clássicos, ele mostrou que eles formam ondas estacionárias apenas para determinadas frequências discretas, níveis de energia discretos que reproduziram o velho condição quântica.

Dando seguimento a essas idéias, Schrödinger decidiu encontrar uma equação de onda adequado para o elétron. Ele foi guiado por Analogia de Hamilton entre a mecânica e óptica, codificados na observação de que o limite de zero-comprimento de onda da óptica se assemelha a um sistema mecânico --- as trajetórias dos raios de luz se tornam faixas afiadas que obedecem um princípio de ação mínima. Hamilton acreditava que a mecânica era o limite zero comprimento de onda da propagação de ondas, mas não formular uma equação para as ondas. Isto é o que Schrödinger fez, e uma versão moderna de seu raciocínio é reproduzida na próxima seção. A equação que ele encontrou é (em unidades naturais):

$i \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi = - \ frac {1} {2 m} \ nabla ^ 2 \ psi + V (x) \ psi$

Usando esta equação, Schrödinger computado o linhas espectrais de hidrogénio por tratamento de um hidrogênio único negativa do átomo carregado de elétrons como uma onda, $\ Psi \;$ , Movendo-se em um potencial bem, V, criado pela carga positiva de protões . Este cálculo reproduziu os níveis de energia do Modelo de Bohr.

Mas isso não foi suficiente, uma vez que Sommerfeld já tinha aparentemente reproduzidas corretamente correcções relativistas. Schrödinger usou a relação momentum de energia relativista para encontrar o que agora é conhecido como o Equação de Klein-Gordon em um potencial de Coulomb :

$(E + {e ^ 2 \ over r}) ^ 2 \ psi = - \ nabla ^ 2 \ psi + m ^ 2 \ psi$

Ele encontrou as ondas em pé desta equação relativista, mas as correcções relativistas discordou com a fórmula de Sommerfeld. Desanimado, ele arrumar seus cálculos e se isolou em uma montanha cabana isolada com um amante.

Enquanto estava lá, Schrödinger decidiu que os cálculos não-relativística anteriores eram novela o suficiente para publicar, e decidiu deixar de fora o problema de correcções relativistas para o futuro. Ele montou sua equação de onda e análise espectral de hidrogênio em um artigo em 1926 .. O papel foi entusiasticamente endossado por Einstein, que viu a matéria-ondas como o antídoto visualizável para o que ele considerava ser o excessivamente formal mecânica matricial.

A equação de Schrödinger diz que o comportamento de $\ Psi$ , Mas não diz o que $\ Psi$ é. Schrödinger tentou, sem sucesso, em sua quarta papel, para interpretá-lo como uma densidade de carga. Em 1926 Max Born, apenas alguns dias após o quarto e último artigo de Schrödinger foi publicado, interpretado com sucesso $\ Psi$ como uma amplitude de probabilidade. Schrödinger, porém, sempre se opôs a uma estatística abordagem ou probabilística, com seus associados descontinuidades; como Einstein, que acreditava que a mecânica quântica foi uma aproximação estatística para uma teoria determinista subjacente, Schrödinger nunca se reconciliou com o Interpretação de Copenhague.

Derivação

Derivação Heurística Curto

Suposições

(1) O total de energia E de uma partícula é

$E = T + V = \ frac {p ^ 2}} {2m + V$

Esta é a expressão clássica para uma partícula com massa m em que o total de energia E é a soma da energia cinética , $\ Frac {p ^ 2} {2m}$ , E o V potencial de energia. O impulso da partícula é p, ou vezes velocidade da massa. A energia potencial é assumido variam com a posição, e possivelmente tempo bem.

Note-se que a energia E e momento p aparecem nas duas relações seguintes:

(2) Quanta luz hipótese de Einstein de 1905, que afirma que a energia E de um fóton é proporcional à freqüência f da onda eletromagnética correspondente:

$E = hf = {h \ over 2 \ pi} (2 \ pi f) = \ hbar \ omega \;$

onde o frequência f da quanta de radiação (fótons) estão relacionados pela constante de Planck h,

e $\ Omega = 2 \ pi f \;$ é o frequência angular da onda.

(3) A 1924 hipótese de Broglie, o que indica que qualquer partícula pode ser associada com uma onda, representada matematicamente por uma função de onda Ψ, e que o momento p da partícula está relacionada com a λ comprimento de onda da onda associada por:

$p = {h \ over \ lambda} = {h \ over 2 \ pi} {2 \ pi \ over \ lambda} = \ hbar k \;$

onde $\ Lambda \,$ é o e comprimento de onda $k = 2 \ pi / \ lambda \;$ é o número de onda da onda.

Expressando P e K como vectores , temos

$\ Mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k} \;$

Expressando a função de onda como uma onda plano complexo

Grande visão de Schrödinger, no final de 1925, era expressar o fase de um onda plana como um complexo fator de fase:

$\ Psi (\ mathbf {x}, t) = Ae ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x} - \ omega t)} = Ae ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf { x}} e ^ {- i \ omega t} = \ psi (\ mathbf {x}) \ phi (t)$

onde

$\ Psi (\ mathbf {x}) = Ae ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}}$

$\ Phi (t) = e ^ {- i \ omega t} \,$

e a perceber que uma vez

$\ Frac {\ partial} {\ partial t} \ Psi = -i \ omega \ Psi$

em seguida

$E \ Psi = \ hbar \ omega \ Psi = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ Psi$

e de modo semelhante uma vez que:

$\ Frac {\ partial} {\ partial x} \ Psi = i k_x \ Psi$

em seguida

$p_x \ Psi = \ hbar k_x \ Psi = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ x parcial} \ Psi$

e, por conseguinte:

$p_x ^ 2 \ Psi = - \ hbar ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} \ Psi$

de modo que, mais uma vez para uma onda plana, obteve:

$p ^ 2 \ Psi = (p_x ^ 2 + p_y ^ 2 + p_z ^ 2) \ Psi = - \ hbar ^ 2 \ left (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ parcial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} \ right) \ Psi = - \ hbar ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi$

E inserindo estas expressões para a energia e quantidade de movimento na fórmula clássica que começou com obtemos equação famosa de Schrödin para uma única partícula, no caso de 3-dimensional, na presença de um potencial V:

$i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ Psi = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ Psi + V \ Psi$

Discussão mais

A partícula é descrita por uma onda, e em unidades naturais, o frequência é a energia E da partícula, enquanto que o momento p é o número de onda k. Estes não são duas hipóteses distintas, por causa da relatividade especial.

$E = \ omega \; \; \; \; P = k \,$

A energia total é a mesma função da quantidade de movimento e posição como na mecânica clássica:

$E = T (P) + V (x) = p {^ 2 \} sobre 2m + V (x)$

onde o primeiro termo T (p) é a energia cinética e o segundo termo V (x) é a energia potencial.

Schrödin necessário que um Pacote de ondas na posição x com número de onda k vai passar ao longo da trajetória determinada por leis de Newton no limite que o comprimento de onda é pequena.

Consideremos primeiro o caso sem um potencial, V = 0.

$E = {1 \ over 2m} (p_x ^ 2 + p_y ^ 2 + p_z ^ 2)$

$\ Omega = {1 \ over 2m} (k_x ^ 2 + k_y ^ 2 + k_z ^ 2)$

Assim que uma onda plana com a relação energia / frequência certa obedece à equação de Schrodinger livre:

$i {\ \ parcial sobre \ partial t} \ psi = - {1 \ over 2m} ({\ partial ^ 2 \ psi \ over \ partial x ^ 2} + {\ partial ^ 2 \ psi \ over \ y parcial ^ 2} + {\ partial ^ 2 \ psi \ over \ z parcial ^ 2})$

e pela soma de ondas planas, você pode fazer uma onda arbitrária.

Quando não existe um potencial, um pacote de ondas devem viajar em uma linha reta na velocidade clássica. O velocidade v de um pacote de ondas é:

$v = {\ partial \ omega \ over \ k parcial} = {\ \ parcial sobre \ k parcial} {k ^ 2 \ over 2m} = {k \ over m}$

que é o impulso sobre a massa como deveria ser. Este é um dos Equações de Hamilton de mecânica:

${Dx \ over dt} = {\ H \ parcial sobre \ p parcial}$

depois de identificar a energia eo momento de um pacote de ondas como a frequência e número de onda.

Para incluir uma energia potencial, considerar que, como uma partícula se move a energia é conservada, de modo que, para um pacote de ondas com aproximado do número de onda k na posição aproximada x a quantidade

${K ^ 2 \ over 2m} + V (x)$

deve ser constante. A freqüência não muda como uma onda se move, mas o número de onda faz. Então, onde existe um potencial de energia, deve adicionar, da mesma forma:

$i {\ \ parcial sobre \ partial t} \ psi = - {1 \ over 2m} \ nabla ^ 2 \ psi + V (x) \ psi$

Esta é a equação de Schrodinger dependente do tempo. É a equação da energia na mecânica clássica, se transformou em uma equação diferencial, substituindo:

$E \ rightarrow i {\ \ parcial sobre \ partial t} \; \; \; \; \; \; p \ rightarrow -i {\ \ parcial sobre \ x parcial}$

Schrödinger estudou as soluções de onda em pé, uma vez que estes eram os níveis de energia. Ondas estacionárias têm uma dependência complicada no espaço, mas variam no tempo de uma forma simples:

$\ Psi (x, t) = \ psi (x) e ^ {- IET} \,$

substituindo, a equação dependente do tempo torna-se a equação de onda estacionária:

${E} \ psi (x) = - {1 \} sobre 2m \ nabla ^ 2 \ psi (x) + V (X) \ psi (x)$

Qual é a equação independente de horário original Schrodinger.

Em um gradiente de potencial, o vetor de k de uma onda de curto comprimento de onda deve variar de ponto para ponto, para manter constante o total de energia. Folhas perpendiculares ao k-vetor são as frentes de onda, e eles gradualmente mudar de direção, porque o comprimento de onda não é a mesma em todos os lugares. Um pacote de ondas segue as frentes de onda de deslocamento com a velocidade clássica, com a aceleração igual à força dividida pela massa.

uma maneira fácil moderno para verificar se a segunda lei de Newton é válida para wavepackets é levar o Transformada de Fourier da equação de Schrödinger dependente do tempo. Para um potencial polinômio arbitrário isso é chamado de equação de Schrödinger na representação do momento:

$i {\ partial \ psi (p) \ over \ partial t} = {p ^ 2 \ over 2m} \ psi (p) + V (i {\ \ parcial sobre \ x parcial}) \ psi (p)$

A relação de grupo-velocidade para a Fourier trasformed onda de pacotes dá o segundo de equações de Hamilton.

${Dp \ over dt} = - {\ partial H \ over \ x parcial}$

Versões

Existem várias equações que vão pelo nome de Schrodinger:

Tempo Equação Dependente

Esta é a equação de movimento para o estado quântico. Na forma mais geral, está escrito:

$i {d \ over dt} \ psi = \ hat H \ psi$

Onde $\ Hat H$ é um operador linear agindo em função de onda $\ Psi$ . $\ Hat H$ toma como uma entrada $\ Psi$ e produz uma outra de uma forma linear, uma versão função de espaço de uma matriz multiplicando um vector. Para o caso específico de uma única partícula num dimensão movendo-se sob a influência de um potencial V:

$i {d \ over dt} \ psi = - {1 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ over \ x ^ 2 parcial} \ psi (x) + V (x) \ psi (x) \,$

eo operador H pode ser lido:

$\ Hat H = - {1 \ over 2m} {\ partial ^ 2 \ over \ partial x ^ 2} + V (x) \,$

que é uma combinação do operador, que leva a segunda derivada, e o operador que multiplica pontuais $\ Psi$ por V (x). Ao deliberar sobre $\ Psi$ que reproduz o lado direito.

Para uma partícula em três dimensões, a única diferença é mais derivados:

$i {d \ over dt} \ psi = - {1 \ over 2m} \ nabla ^ 2 \ psi + V (x) \ psi \,$

e para N partículas, a diferença é que é a função de onda no espaço de configuração 3N-dimensional, o espaço de todas as posições possíveis de partículas.

$i {d \ over dt} \ psi (x_1, ..., x_n) = (- {\ nabla_1 ^ 2 \ over 2m_1} - {\ nabla_2 ^ 2 \ over 2m_2} ... - {\ nabla_N ^ 2 \ sobre 2m_N}) \ psi + V (x_1, .., x_n) \ psi \,$

Esta última equação é em uma dimensão muito elevada, de modo que as soluções não são fáceis de visualizar.

Tempo Equação Independent

Esta é a equação para as ondas estacionárias, o valor próprio equação para H. Em forma de resumo, para um sistema quântico geral, está escrito:

$E \ psi = \ hat H \ psi \,$

Para uma partícula uma dimensão, com a massa absorvida para escalonamento de tempo ou de espaço:

$E \ psi = - {\ partial ^ 2 \ psi \ over \ partial x ^ 2} + V (x) \ psi \,$

Mas existe uma restrição adicional --- a solução não deve crescer no infinito, de modo que tenha uma norma finito:

$|| \ Psi || ^ 2 = \ int_x \ psi ^ * (x) \ psi (x) \,$

Por exemplo, quando não existe um potencial, a equação lê:

$- E \ psi = {\ partial ^ 2 \ psi \ over \ partial x ^ 2} \,$

que tem soluções para oscilatórios E> 0 (o C do são constantes arbitrárias):

$\ Psi_E (x) = C_1 e ^ {i \ sqrt {x}} E + C_2 e ^ {- i \ sqrt {E} x} \,$

e soluções exponenciais para E <0

$\ Psi _ {- | E |} (x) = C_1 e ^ {\ sqrt {| E |} x} + C_2 e ^ {- \ sqrt {| E |} x} \,$

As soluções em crescimento exponencial tem uma norma infinita, e não são físicos. Eles não são permitidas em um volume finito com condições periódicas ou fixas de fronteira.

Para um V potencial constante, a solução é oscilatório para E> V e exponencial para E tunelamento quântico. Se o potencial V cresce no infinito, o movimento é classicamente confinado a uma região finito, o que significa que em cada mecânica quântica solução torna-se exponencial longe o suficiente. A condição de que o exponencial está diminuindo restringe os níveis de energia para um conjunto discreto, chamou as energias permitidas.

Energia autoestados

Uma solução $\ Scriptstyle \ psi_E (x)$ do tempo equação independente é chamado de auto-estado de energia com energia E:

$H \ psi_E = E \ psi_E \,$

Para encontrar a dependência do tempo do estado, considere iniciar a equação dependente do tempo com uma condição inicial $\ Psi_E (x)$ . O derivado de tempo em t = 0 em todos os lugares é proporcional ao valor:

$i {d \ over dt} \ psi (x) = H \ psi (x) = E \ psi (x) \,$

Assim que a princípio toda a função só fica redimensionada, e mantém a propriedade de que sua derivada tempo é proporcional a si mesma. Assim, para todos os momentos,

$\ Psi (x, t) = A (t) \ psi_E (x) \,$

substituindo,

$i {dA \ over dt} = - E A \,$

Assim que a solução da equação dependente do tempo com esta condição inicial é:

$\ Psi (x, t) = \ psi_E (x) e ^ {- IET} \,$

ou, com explícita $\ Scriptstyle \ hbar$ s.

$\ Psi (x, t) = \ psi_E (x) e ^ {- i {E t \ over \ hbar}} \,$

Esta é uma reafirmação do fato de que as soluções da equação independente do tempo são as soluções onda estacionária da equação dependente do tempo. Eles só são multiplicados por uma fase como o tempo passa, e caso contrário mantêm-se inalterados.

Sobreposições de energia autoestados alterar as suas propriedades de acordo com as fases relativas entre os níveis de energia.

Propriedades

Primeira Ordem in Time

A equação de Schrödinger descreve a evolução temporal de um estado quântico, e deve determinar o valor futuro do valor presente. A equação de campo clássica pode ser de segunda ordem no derivadas temporais, o Estado clássica pode incluir o tempo derivado do campo. Mas um estado quântico é uma descrição completa de um sistema, de modo que a equação de Schrödinger é sempre de primeira ordem no tempo.

Linear

A equação de Schrödinger é linear em função de onda: se $\ Psi (x, t)$ e $\ Phi (x, t)$ são soluções para a equação dependente do tempo, então é assim $a \ psi + b \ phi$ , Onde a e b são quaisquer números complexos .

Na mecânica quântica, a evolução temporal de um estado quântico é sempre linear, para razões fundamentais. Embora existam versões não-lineares da equação de Schrödinger, estes não são equações que descrevem a evolução de um estado quântico, mas equações de campo clássicos como equações de Maxwell ou a Equação de Klein-Gordon.

A equação de Schrodinger si pode ser pensada como a equação de movimento para um campo clássica não para uma função de onda, e tendo Deste ponto de vista, ele descreve uma onda coerente da matéria não-relativística, uma onda de um Bose condensado ou um Superfluid com um grande número indefinido de partículas e uma fase definitiva e amplitude.

Autoestados reais

A equação independente do tempo também é linear, mas neste caso linearidade tem um significado ligeiramente diferente. Se duas funções de onda $\ Psi_1$ e $\ Psi_2$ são as soluções para a equação independente do tempo com a mesma energia E, então qualquer combinação linear dos dois é uma solução com energia E. Duas soluções diferentes com a mesma energia são chamados degenerada.

$\ Hat H (a \ psi_1 + b psi_2 \) = (a \ hat H \ psi_1 + b \ hat H \ psi_2) = E (a \ psi_1 + b \ psi_2) \,$

Em um potencial arbitrária, existe uma degenerescência óbvia: se uma função de onda $\ Psi$ resolve a equação independente do tempo, o mesmo acontece $\ Psi ^ *$ . Ao tomar combinações lineares, a parte real e imaginária de $\ Psi$ são cada um soluções. Assim que a restrição a atenção para wavefunctions valores reais não afecta o problema de valores próprios, independente do tempo.

Na equação, dependente do tempo, as ondas de complexos conjugados mover em direcções opostas. Dada uma solução para a equação do tempo dependente $\ Psi (x, t)$ , A substituição:

$\ Psi (x, t) rightarrow \ psi ^ * (x, -t) \ \,$

produz uma outra solução, e é a extensão da simetria conjugação complexa para o caso dependente do tempo. A simetria da conjugação complexa é chamado de inversão de tempo.

Unitária Tempo Evolução

A equação de Schrodinger é unitária, o que significa que a norma total da função de onda, a soma dos quadrados do valor em todos os pontos:

$\ Int_x \ psi ^ * (x) \ psi (x) = \ Langle \ psi | \ psi \ rangle \,$

tem derivado de tempo zero.

O derivado de $\ Psi ^ *$ é de acordo com as equações conjugados complexos

$-i \ hbar {d \ over dt} \ psi ^ * = \ hat H ^ \ punhal \ psi ^ * \,$

onde o operador $H ^ \ dagger$ é definida como o análogo contínua do Conjugado Hermitiana,

$\ Langle \ eta H ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle = \ langle \ eta | H \ psi \ rangle \,$

Para uma base discreta, isto significa apenas que os elementos da matriz do obey linear operador H:

$\ Hat H_ {ij} = \ hat H ^ * _ {ji} \,$

O derivado do produto interno é:

${D \ over dt} \ langle \ psi | \ psi \ rangle = i \ langle \ psi \ hat H ^ \ adaga | \ psi \ rangle - i \ langle \ psi | H \ psi \ rangle \,$

e é proporcional à parte imaginária de H. Se H não tem qualquer parte imaginária, se for auto-adjunto, então a probabilidade é conservada. Isto é verdade não apenas para a equação de Schrödinger como está escrito, mas para a equação de Schrödinger com salto não-local:

$i {d \ over dt} \ psi (x) = \ int_y H (x, y) \ psi (y) \,$

contanto que:

$H (x, y) = H (y, x) ^ * \,$

A escolha particular:

$H (x, y) = - {1 \ over 2m} \ nabla_x ^ 2 \ delta (xy) + V (x) \ delta (xy) \,$

reproduz o salto local na equação de Schrödinger comum. Em uma estrutura discreta aproximação a um espaço contínuo, H (x, y) tem uma forma simples:

$H (x, y) = - {1 \ over 2m} \,$

sempre que X e Y são vizinhos mais próximos. Na diagonal

$H (x, x) = + {n \ mais de 2m} + V (x) \,$

onde n é o número de vizinhos mais próximos.

Energias positivas

As soluções da equação de Schrodinger em um potencial que é delimitada abaixo tem uma frequência que é delimitada abaixo. Para qualquer operador linear $\ Scriptstyle \ hat A$ , O vector próprio menor minimiza a quantidade:

$\ Langle \ psi | A | \ psi \ rangle$

sobre tudo $\ Psi$ que são normalizados:

pelo princípio variacional.

O valor da energia para o Schrodinger Hamiltoniano é, em seguida, o valor mínimo de:

$\ Langle \ psi | H | \ psi \ rangle = \ int_x \ psi ^ * (x) (- \ nabla ^ 2 \ psi + V (x) \ psi) = \ int_x | \ nabla \ psi | ^ 2 + V (x) | \ psi | ^ 2 dx$

depois de uma integração por partes, e do lado direito é definida positiva quando V é positivo.

Definida positiva não degenerada Estado-chão

Para potenciais que são delimitadas abaixo e não estão infinito longo de uma região, há um estado fundamental que minimiza o integral acima. Este menor wavefunction energia é real e positiva definida.

Suponha por contradição que $\ Psi$ é um estado de energia mais baixo e tem uma mudança de sinal, em seguida, $\ Eta (x) = | \ psi (x) |$ , O valor absoluto de $\ Psi$ obedece

$V (x) | \ eta | ^ 2 = V (x) | \ psi | ^ 2 \,$

em todos os lugares, e

$| \ Nabla \ eta | ^ 2 = | \ nabla \ psi | ^ 2$

exceto para um conjunto de medida zero. Assim $\ Eta$ é também um minimimum do integrante, e que tem o mesmo valor que $\ Psi$ . Mas por suavizar as curvas na mudança de sinal, a contribuição do inclinação para a integral é reduzido, enquanto a energia potencial é pouco alterada, de modo que a energia de $\ Eta$ pode ser reduzida, o que é uma contradição.

A ausência de mudança de sinal também demonstra que o estado fundamental é não degenerada, uma vez que se havia dois estados fundamentais com energia E que não eram proporcionais entre si, uma combinação linear dos dois também seria um estado fundamental com um zero.

Estas propriedades permitem a continuação analítica da equação de Schrodinger a ser identificado como um processo estocástico, que pode ser representado por um caminho integral.

Perfeição

Os eigenstates energia formam uma base --- qualquer função de onda pode ser escrita como uma soma sobre os estados de energia discretos ou uma integral sobre estados de energia contínua, ou, mais geralmente como uma integral sobre uma medida. Isto é o teorema espectral em matemática e em um espaço de estados finitos é apenas uma declaração da integralidade dos próprios de uma matriz Hermitiana.

Conservação local de Probabilidade

A densidade de probabilidade de uma partícula é $\ Psi ^ * (x) \ psi (x)$ . A probabilidade de fluxo é definida como:

$\ Mathbf {j} = {\ hbar \ over m} \ cdot {1 \ over {2 \ mathrm {i}}} \ left (\ psi ^ {*} \ nabla \ psi - \ psi \ nabla \ psi ^ { *} \ right) = {\ hbar \ over m} \ operatorname {Im} \ left (\ psi ^ {*} \ nabla \ psi \ right)$

em unidades de (probabilidade) / (área x tempo).

O fluxo preenche a probabilidade equação de continuidade:

${\ \ Parcial sobre \ partial t} P \ left (x, t \ right) + \ nabla \ cdot \ mathbf {} j = 0$

onde $P \ left (x, t \ direita)$ é o densidade de probabilidade e medido em unidades de (probabilidade) / (volume) = r ^-3. Esta equação é o equivalente matemático da probabilidade lei de conservação.

Para uma onda avião:

$\ Psi (x, t) = \, A e ^ {\ mathrm {i} (kx - \ omega t)}$

$j \ left (x, t \ right) = \ left | A \ right | ^ 2 {\ hbar k \ over m}$

De modo que, não só é a probabilidade de encontrar a partícula em toda a parte a mesma, mas a probabilidade de fluxo é, como esperado a partir de um objecto em movimento na velocidade clássica $p / m$ .

A razão que a equação de Schrödinger admite um fluxo probabilidade é porque todo o hopping é local e para frente no tempo.

Heisenberg observáveis

Há muitos operadores lineares que actuam sobre a função de onda, cada um define uma matriz de Heisenberg quando os auto-estados de energia são discretos. Para uma única partícula, o operador que leva o derivado da função de onda num determinado sentido:

$\ Hat p = {i \ hbar {\ \ parcial sobre \ x parcial}}$

É chamado de operador de momentum. Multiplicando operadores é apenas como matrizes multiplicadores, o produto de A e B atuando em $\ Psi$ A atuação é na saída do B agindo em $\ Psi$ .

Um auto-estado de p obedece à equação:

$\ Hat p \ psi = k \ psi \,$

para um número k, e por uma função de onda normalizable isso restringe k seja real, eo eigenstate impulso é uma onda com frequência k.

$\ Psi (x) = e ^ {i KX} \,$

O operador posição x multiplica cada valor da função de onda na posição X por X:

$\ Hat x (\ psi) = x \ psi$

De modo que, a fim de ser um auto-estado de x, uma função de onda deve ser completamente concentrada num ponto:

$\ Hat x \ delta (x-x_0) = x_0 \ delta (-x_0 x)$

Em termos de p, a Hamiltoniana é:

$\ Hat H = {\ hat p ^ 2 \ over 2m} + V (x)$

É fácil verificar que p agindo em x atuação em psi:

$\ Hat p (\ hat x (\ psi)) = -i \ hbar {\ \ parcial sobre \ x parcial} (x \ psi) = -ix {\ \ parcial sobre \ x parcial} \ psi -i \ hbar \ psi$

enquanto x agindo em p atuação em psi reproduz apenas o primeiro prazo:

$\ Hat x (\ hat p (\ psi)) = -i \ hbar {\ \ parcial sobre \ x parcial} \ psi$

de modo que a diferença dos dois não é zero:

$(X p - p x) \ psi = i \ hbar \ psi \,$

ou em termos de operadores:

$[X, p] = xp - px = i \ hbar \,$

uma vez que a derivada temporal de um estado é:

$i {d \ over dt} \ psi = \ hat H \ psi \,$

enquanto o conjugado complexo é

$- I {d \ over dt} \ psi ^ * = \ hat H \ psi ^ * \,$

A derivada do tempo de um elemento de matriz

${D \ over dt} \ langle \ eta | A | \ psi \ rangle = - \ eta \ hat HA \ psi + \ eta AH \ psi = [H, A] \,$

obedece à equação de Heisenberg de movimento. Isto estabelece a equivalência dos formalismos Schrodinger e Heisenberg, ignorando os pontos finos matemáticos do processo, limitando o espaço contínuo.

Princípio de correspondência

A equação de Schrödinger satisfaz o princípio de correspondência. No limite das pequenas wavepackets de comprimento de onda, que reproduz as leis de Newton. Isso é fácil de ver a partir da equivalência a mecânica matricial.

Todos os operadores formalismo de Heisenberg obedece o análogo quântico de equações de Hamilton:

${DA \ over dt} = -i \ hbar (AH - HA)$

De modo que, em particular, as equações de movimento para os operadores X e P são os seguintes:

${DX \ over dt} = {P \ over m}$

${DP \ over dt} = - {\ V \ parcial sobre \ x parcial}$

no Schrodinger imagem, a interpretação desta equação é que dá a taxa de variação do elemento da matriz entre dois estados quando os estados mudam com o tempo. Tomando o valor esperado em qualquer estado mostra que as leis de Newton mantenha não só em média, mas exatamente, para as quantidades:

$\ Langle X \ rangle = \ int_x \ psi ^ * (x) \ psi (x) X = \ langle \ psi | X | \ psi \ rangle \,$

$\ Langle P \ rangle = \ int_x \ psi ^ * (x) i \ hbar {\ partial \ psi \ over \ x parcial} (x) = \ langle \ psi | P | \ psi \ rangle \,$

Relatividade

A equação de Schrödinger não leva em conta relativistas efeitos, como uma equação de onda, é invariante sob um Transformação de Galileu, mas não no âmbito de um Transformação de Lorentz. Mas, a fim de incluir a relatividade, a imagem física deve ser alterado de uma forma radical.

Uma generalização ingênua da equação de Schrödinger usa a relação massa-energia relativista (em unidades naturais):

$E ^ 2 = P ^ 2 + m ^ 2 \,$

para produzir a equação diferencial:

$- {\ Partial ^ 2 \ over \ t ^ 2 parcial} \ psi = - \ nabla ^ 2 \ psi + m ^ 2 \ psi \,$

que é relativisticamente invariante, mas de segunda ordem em $\ Psi$ , E por isso não pode ser uma equação para o estado quântico. Esta equação também tem a propriedade de que existem soluções com frequência tanto positivo quanto negativo, uma solução de onda plano obedece:

$\ Omega ^ 2 - k ^ 2 = m ^ 2 \,$

que tem duas soluções, uma com a outra frequência positiva com frequência negativa. Isso é um desastre para a mecânica quântica, porque isso significa que a energia é ilimitada abaixo.

A tentativa mais sofisticado para resolver este problema usa uma equação de onda de primeira ordem, a Equação de Dirac, mas, novamente, há soluções de energia negativa. A fim de resolver este problema, é essencial para ir para uma imagem multiparticle, e considerar as equações de onda como equações de movimento para um campo quântico, não para uma função de onda.

A razão é que a relatividade é incompatível com uma única imagem de partículas. Uma partícula relativista não pode ser localizada a uma pequena região sem o número de partículas tornando-se indefinido. Quando uma partícula está localizada dentro de uma caixa de comprimento L, o momento é incerto por uma quantidade aproximadamente proporcional a H / L pela O princípio da incerteza. Isto conduz a uma incerteza de energia de HC / L, quando | p | é suficientemente grande para que a massa da partícula podem ser negligenciadas. Esta incerteza na energia é igual à massa-energia da partícula quando

$L = {\ hbar \ over mc} \,$

e isso é chamado de Comprimento de onda Compton. Abaixo deste comprimento, é impossível localizar uma partícula e a certeza de que ele permanece uma única partícula, uma vez que a incerteza de energia é suficientemente grande para produzir mais partículas do vácuo pelo mesmo mecanismo que localiza a partícula original.

Mas há uma outra abordagem para a mecânica quântica relativística que não lhe permitem seguir caminhos de partículas individuais, e foi descoberto dentro do path-integrante formulação. Se os caminhos de integração no caminho integral incluir caminhos que se movem para trás e para frente no tempo em função do seu próprio tempo adequado, é possível construir uma função de onda frequência puramente positivo para uma partícula relativista. Esta construção é atraente, porque a equação de movimento para a função de onda é exatamente a equação de onda relativística, mas com uma restrição não-local que separa as soluções positivas e negativas de freqüência. As soluções de frequência positivos viajar para a frente no tempo, as soluções de frequência negativos viajar para trás no tempo. Desta forma, ambos analiticamente continuar a uma função de correlação estatística campo, que também é representado por uma soma sobre caminhos. Mas no espaço real, que são as amplitudes de probabilidade de uma partícula para viajar entre dois pontos, e podem ser usados para gerar a interacção de partículas em um ponto de divisão de quadro e aderir. O ponto de partícula relativista de vista é devido a Richard Feynman.

O método de Feynman também constrói a teoria dos campos quantificados, mas de um ponto de vista das partículas. Nesta teoria, as equações de movimento para o campo pode ser interpretada como as equações de movimento para uma função de onda somente com cuidado --- a função de onda só é definida a nível mundial, e de alguma forma relacionado com o tempo adequado da partícula. A noção de uma partícula localizada também é delicada --- uma partícula localizada no caminho da partícula relativista corresponde integrais para o estado produzido quando um operador de campo local atua no vácuo, e exacly que estado é produzido depende da escolha de variáveis de campo.

Soluções

Algumas técnicas gerais são:

Teoria de perturbação
O princípio variacional
Métodos Quantum Monte Carlo
Teoria do funcional da densidade
O Aproximação WKB e expansão semi-clássico

Em alguns casos especiais, métodos especiais podem ser usados:

Lista de sistemas mecânicos quânticos com soluções analíticas
Método Hartree-Fock e métodos pós Hartree-Fock
Discreta delta-método potencial

Equação de Schrödinger livre

Quando o potencial é zero, a equação de Schrödinger é linear com coeficientes constantes:

$i \ frac {\ \ psi parcial} {\ t parcial} = - {1 \ over 2m} \ nabla ^ 2 \ psi$

onde $\ Scriptstyle \ hbar$ foi definido para 1. A solução $\ Psi_t (x)$ para qualquer condição inicial $\ Psi_0 (x)$ pode ser encontrado Transformadas de Fourier. Porque os coeficientes são constantes, uma onda plana inicial:

$\ Psi_0 (x) = A e ^ {i k x} \,$

permanece uma onda plana. Apenas o coeficiente de mudanças. Substituindo:

${DA \ over dt} = - {i k ^ 2 \ over 2m} A \,$

Assim que A é também oscilantes no tempo:

$A (t) = A e ^ {- i {k ^ 2 \ over 2m} t} \,$

e a solução é:

$\ Psi_t (x) = A e ^ {i k x - i \ omega t} \,$

Onde $\ Omega = k ^ 2 / 2m$ , Uma reafirmação das relações do DeBroglie.

Para encontrar a solução geral, escrever a condição inicial como uma soma de ondas planas, tomando sua transformada de Fourier:

$\ Psi_0 (x) = \ int_k psi (k) e ^ {ikx} \ \,$

A equação é linear, por isso, cada plano ondas evolui de forma independente:

$\ Psi_t (x) = \ int_k psi (k) e ^ \ {- i \ omega t} e ^ {ikx} \,$

Qual é a solução geral. Quando completada por um método eficaz para a tomada de transformadas de Fourier, torna-se um algoritmo eficiente para encontrar a função de onda a qualquer momento futuro --- transformada de Fourier as condições iniciais, multiplica-se por uma fase, e transformar de novo.

Gaussian pacote de ondas

Um exemplo instrutivo é fácil e o pacote de ondas de Gauss:

$\ Psi_0 (x) = e ^ {- x ^ 2/2-A} \,$

onde a é um número real positivo, o quadrado da largura do pacote de ondas. A normalização total desta função de onda é:

$\langle \psi|\psi\rangle = \int_x \psi^* \psi = \sqrt{\pi a}$

A transformada de Fourier é uma Gaussiana de novo em termos de número de onda k:

$\psi_0(k) = (2\pi a)^{d/2} e^{- a k^2/2} \,$

Com a convenção física que coloca os fatores de $2 \ pi$ em Fourier transforma no k-medida.

$\psi_0(x) = \int_k \psi_0(k) e^{-ikx} = \int {d^dk \over (2\pi)^d} \psi_0(k) e^{-ikx}$

Cada onda separada apenas de fase-gira no tempo, para que a solução transformou-Fourier dependente do tempo é:

$\psi_t(k) = (2\pi a)^{d/2} e^{- a { k^2\over 2} - it {k^2\over 2m}} = (2\pi a)^{d/2} e^{-(a+it/m){k^2\over 2}} \,$

A transformada de Fourier inversa é ainda uma gaussiana, mas o parâmetro tornou-se um complexo, e não é um factor de normalização global.

$\psi_t(x) = \left({a \over a + i t/m}\right)^{d/2} e^{- {x^2\over 2(a + i t/m)} } \,$

O ramo da raiz quadrada é determinada pela continuidade no tempo --- é o valor que está mais próximo à raiz quadrada positiva de uma. É conveniente para redimensionar tempo para absorver m, substituindo t / m por t.

O integral de $\ Psi$ todo o espaço por cima é invariante, porque é o produto interno de $\ Psi$ com o estado de energia zero, o que é um comprimento de onda da onda com infinita, uma função da constante de espaço. Para qualquer estado de energia, com função de onda $\ Eta (x)$ , o produto interno:

$\langle \eta | \psi \rangle = \int_x \eta(x) \psi_t(x)$ ,

só muda no tempo de uma forma simples: a sua fase gira com uma frequência determinada pela energia de $\eta$ . Quando $\eta$ tem zero de energia, como a onda de comprimento de onda infinita, isso não muda nada.

A soma do quadrado absoluto do $\ Psi$ também é invariável, que é uma indicação da conservação da probabilidade. Explicitamente em uma dimensão:

$|\psi|^2 = \psi\psi^* = {a \over \sqrt{a^2+t^2} } e^{-{x^2 a \over a^2 + t^2}}$

O que dá a norma:

$\int |\psi|^2 = \sqrt{\pi a}$

que tem preservado o seu valor, como deve ser.

A largura da Gaussiana é a quantidade interessante, e que pode ser lida a partir da forma de $|\psi^2|$ :

$\sqrt{a^2 + t^2 \over a} \,$ .

A largura eventualmente cresce linearmente com o tempo, como $\scriptstyle t/\sqrt{a}$ . Este é pacote de ondas espalhando --- não importa quão estreita a função de onda inicial, uma onda de Schrodinger, eventualmente, preenche todo o espaço. O crescimento linear é um reflexo da incerteza impulso --- o pacote de ondas está confinado a uma pequena largura $\scriptstyle \sqrt{a}$ e por isso tem um momento que é incerto pela quantidade recíproco $\scriptstyle 1/\sqrt{a}$ , em uma velocidade de propagação $\scriptstyle 1/m\sqrt{a}$ , e, por conseguinte, na posição futura por $\scriptstyle t/m\sqrt{a}$ , onde a fator de m foi restaurado por desfazer o redimensionamento antes de tempo.

Invariance galileu

Impulsos de Galileu são transformações que olham para o sistema do ponto de vista de um observador que se move com uma velocidade constante -v. Um impulso deve alterar as propriedades físicas de um pacote de ondas da mesma maneira como na mecânica clássica:

$p'= p + mv \,$

$x'= x + vt \,$

Assim que o fator fase de uma onda livre avião Schrodinger:

$p x - E t = (p' - mv)(x' - vt) - {(p'-mv)^2\over 2} t = p' x' + E' t + m v x - {mv^2\over 2}t \,$

só é diferente nas coordenadas impulsionado por uma fase que depende de X e T, mas não na p.

Uma superposição arbitrária de soluções de avião onda com diferentes valores de p é o mesmo superposição de ondas planas impulsionado, até um total x, t fator fase dependente. Assim, qualquer solução para a equação livre Schrodinger, $\psi_t(x)$ , pode ser potenciado em outras soluções:

$\psi'_t(x) = \psi_t(x + vt) e^{ i mv x - i {mv^2\over 2}t} \,$

Impulsionar uma função de onda constante produz uma onda de avião. De modo mais geral, impulsionando uma onda de avião:

$\psi_t(x) = e^{ipx - i {p^2\over 2m} t} \,$

produz uma onda impulsionada:

$\psi'_t(x) = e^{ i p(x + vt) - i{p^2\over 2m}t + imv x - i {mv^2\over 2}t} = e^{i(p+mv)x + i {(p+mv)^2\over 2m}t } \,$

Impulsionar o pacote de ondas Gaussian espalhando:

$\psi_t(x) = {1\over \sqrt{a+it/m}} e^{ - {x^2\over 2a} } \,$

produz o Gaussian movimento:

$\psi_t(x) = {1\over \sqrt{a + it/m}} e^{ - {(x + vt)^2 \over 2a} + i m v x - i {mv^2\over 2} t } \,$

Que se estende da mesma maneira.

Propagator livre

O limite de largura estreita da solução de pacote de ondas Gaussian é o propagador K. Para outras equações diferenciais, esta é muitas vezes chamado a função de Green, mas na mecânica quântica é tradicional para reservar função o nome de Green para a época transformada de Fourier de K. Quando um é a quantidade infinitesimal $\ Epsilon$ , a condição inicial Gaussian, redimensionada para que a sua integral é um:

$\psi_0(x) = {1\over \sqrt{2\pi \epsilon} } e^{-{x^2\over 2\epsilon}} \,$

torna-se um função delta, de modo que a sua evolução no tempo:

$K_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi (i t + \epsilon)}} e^{ - x^2 \over 2it+\epsilon } \,$

dá o propagador.

Note-se que um pacote de ondas inicial muito estreita torna-se instantaneamente infinitamente grande, com uma fase que é mais rapidamente oscilatório em grandes valores de x. Isso pode parecer estranho --- a solução vai de ser concentrada em um ponto de ser em todos os lugares em todos os momentos posteriores, mas é um reflexo da incerteza momento de uma partícula localizada. Observe também que a norma da função de onda é infinito, mas isso também é correta, já que o quadrado de uma função delta é divergente da mesma forma.

O fator de $\ Epsilon$ é uma quantidade infinitesimal que está lá para se certificar de que integrais sobre K estão bem definidos. No limite que $\ Epsilon$ se torna zero, K se torna puramente oscilatório e integrais de K não são absolutamente convergente. No restante desta seção, será definido como zero, mas para todas as integrações mais de estados intermediários de ser bem definidas, o limite $\scriptstyle \epsilon\rightarrow 0$ é apenas para ser tomada depois de o estado final é calculada.

O propagador é a amplitude para atingir o ponto x no tempo t, quando se inicia na origem, x = 0. Pela tradução invariância, a amplitude para se chegar a um ponto quando x começando no ponto y é a mesma função, apenas traduzido:

$K_t(x,y) = K_t(x-y) = {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{-i(x-y)^2 \over 2t} \,$

No limite, quando t é pequena, o propagador converge para uma função delta:

$\lim_{t\rightarrow 0} K_t(x-y) = \delta(x-y)$

mas apenas no sentido de distribuições. O integral deste quantidade multiplicada por um diferenciável arbitrária função de teste dá o valor da função de teste em zero. Para ver isto, note que a integral sobre todo o espaço do K é igual a 1 em todos os tempos:

$\int_x K_t(x) = 1 \,$

uma vez que esta integral é o produto interno de K com a função de onda uniforme. Mas o fator fase no expoente tem uma derivada espacial diferente de zero em todos os lugares, exceto na origem, e assim, quando o tempo é pequena há cancelamentos fase rápida em todos, mas um ponto. Esta é rigorosamente verdadeiro quando o limite $\epsilon\rightarrow zero$ é tomado depois de tudo.

Então o kernel de propagação é a evolução futura vez de uma função delta, e ela é contínua em um sentido, converge para a função delta inicial em pequenos momentos. Se a função de onda inicial é um ponto infinitamente estreito na posição $x_0$ :

$\psi_0(x) = \delta(x - x_0) \,$

torna-se a onda oscilatória:

$\psi_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi i t}} e^{ -i (x-x_0) ^2 /2t} \,$

Uma vez que cada função pode ser escrita como uma soma de picos estreitos:

$\psi_0(x) = \int_y \psi_0(y) \delta(x-y) \,$

a evolução no tempo da função de cada é determinada pela propagação do kernel:

$\psi_t(x) = \int_y \psi_0(x) {1\over \sqrt{2\pi it}} e^{-i (x-x_0)^2 / 2t} \,$

E esta é uma maneira alternativa de expressar a solução geral. A interpretação desta expressão é que a amplitude de uma partícula pode ser encontrada no ponto x no tempo t é a amplitude que começou no $x_0$ vezes a amplitude que passou de $x_0$ a x, soma de todos os possíveis pontos de partida. Em outras palavras, é uma convolução do núcleo K com a condição inicial.

$\psi_t = K * \psi_0 \,$

Uma vez que a amplitude de viajar de x para y após um tempo $t+t'$ podem ser considerados em duas etapas, o propagador obedece a identidade:

$\int_y K(x-y;t)K(y-z;t') = K(x-z;t+t') \,$

Que pode ser interpretado como se segue: a amplitude de viajar a partir de x para z no tempo t + t 'é a soma da amplitude de viajar de x para y no tempo t multiplicado pela amplitude de viajar de y para z no tempo t' , somada ao longo de todas as possíveis estados intermediários y. Esta é uma propriedade de um sistema quântico arbitrário, e subdividindo o tempo em muitos segmentos, que permite a evolução no tempo para ser expresso como uma caminho integral.

Continuação analítica para Difusão

A disseminação de wavepackets na mecânica quântica está diretamente relacionada com a propagação de densidades de probabilidade em difusão.Para uma partícula que é uma caminhada aleatória, a função de densidade de probabilidade em qualquer ponto satisfaz aequação de difusão:

${\partial \over \partial t} \rho = {1\over 2} {\partial \over \partial x^2 } \rho$

onde o fator de 2, que pode ser removido por um ou escalonamento de tempo ou espaço, é apenas por conveniência.

A solução dessa equação é o gaussian espalhando:

$\rho_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi t}} e^{-x^2 \over 2t}$

e uma vez que o integrante de $\rho_t$ , é constante, ao passo que a largura é cada vez mais estreita em pequenas vezes, esta função se aproxima de uma função delta em t = 0:

$\lim_{t\rightarrow 0} \rho_t(x) = \delta(x) \,$

novamente, apenas no sentido da distribuição, de modo que

$\lim_{t\rightarrow 0} \int_x f(x) \rho_t(x) = f(0) \,$

para qualquer suavefunção de teste f.

O Gaussian espalhando é o kernel de propagação para a equação de difusão e ele obedece aidentidade convolution:

$K_{t+t'} = K_{t}*K_{t'} \,$

Que permite a difusão de ser expresso como um caminho integral. O propagador é a exponencial de um operador H:

$K_t(x) = e^{-tH} \,$

que é o operador de difusão infinitesimal.

$H= -{\nabla^2\over 2} \,$

A matriz tem dois índices, que no espaço contínuo faz com que seja uma função de X e X '. Neste caso, por causa da tradução invariância, o elemento-matriz K depende apenas a diferença de posição, e um abuso de notação é conveniente referir-se ao operador, os elementos da matriz, e a função da diferença com o mesmo nome:

$K_t(x,x') = K_t(x-x') \,$

Tradução invariância significa que a multiplicação de matrizes contínua:

$C(x,x'') = \int_{x'} A(x,x')B(x',x'') \,$

é realmente convolution:

$C(\Delta) = C(x-x'') = \int_{x'} A(x-x') B(x'-x'') = \int_{y} A(\Delta-y)B(y) \,$

O exponencial pode ser definida ao longo de um intervalo de T do que incluem valores complexos, desde que integrais sobre a estadia do kernel propagação convergente.

$K_z(x) = e^{-zH} \,$

Enquanto a parte real de z é positiva, para grandes valores de x K é exponencialmente decrescente e integrais sobre K são absolutamente convergente.

O limite desta expressão para z chegando perto do eixo imaginário puro é o propagador Schrodinger:

$K_t^{\rm Schr} = K_{it+\epsilon} = e^{-(it+\epsilon)H} \,$

e isso dá uma explicação mais conceitual para a evolução temporal de gaussianas. A partir da identidade fundamental de exponenciação, ou integração caminho:

$K_z * K_{z'} = K_{z+z'} \,$

vale para todos os valores de z complexos onde as integrais são absolutamente convergentes para que os operadores estão bem definidos.

Assim que a evolução do quantum a partir de uma Gaussiana, que é a difusão do kernel K:

$\psi_0(x) = K_a(x) = K_a * \delta(x) \,$

dá o tempo evoluiu estado:

$\psi_t = K_{it} * K_a = K_{a+it} \,$

Isso explica a forma difusora das soluções de Gauss:

$\psi_t(x) = {1\over \sqrt{2\pi (a+it)} } e^{- {x^2\over 2(a+it)} } \,$

Princípio Variacional

O princípio variacional afirma que para qualquer qualquer matriz Hermitiana A, o menor valor próprio minimiza a quantidade:

$\langle v,Av \rangle = \sum_{ij} A_{ij} v^*_i v_j \,$

na esfera unitária $<v,v>=1$ .Este segue através do método demultiplicadores de Lagrange, no mínimo, o gradiente da função é paralelo ao gradiente da restrição:

${\partial\over \partial v_i} \langle v,Av\rangle = \lambda {\partial \over \partial v_i} \langle v,v\rangle \,$

que é a condição autovalor

$\sum_{j} A_{ij} v_j = \lambda v_i \,$

de modo que os valores extremos de uma forma quadrática A são os valores próprios de A, e o valor da função em valores extremos é apenas o valor próprio correspondente:

$\langle v,Av\rangle = \lambda\langle v,v\rangle = \lambda \,$

Quando a matriz hermitiana é o Hamiltoniano, o valor mínimo é o nível de energia mais baixo.

No espaço de todas as funções de onda, a esfera unidade é o espaço de todas as funções de onda normalizadas $\ Psi$ , os minimiza estado fundamental

$\langle \psi | H |\psi \rangle = \int \psi^* H \psi = \int \psi^* (-\nabla^2 + V(x)) \psi \,$

ou, depois de uma integração por partes,

$\langle \psi | H |\psi \rangle = \int |\nabla \psi|^2 + V(x) |\psi|^2 \,$

Todos os pontos fixos vêm em pares conjugados complexos desde o integrando é real. Uma vez que os pontos estacionários são valores próprios, qualquer combinação linear é um ponto estacionário, e a parte real e imaginária são os dois pontos estacionários.

O estado mais baixo de energia tem uma função de onda positiva definida, porque dado um $\ Psi$ que minimiza a, integrante $|\psi|$ ,, o valor absoluto é também um minimizador. Mas isso minimizador tem cantos afiados em locais onde $\ Psi$ muda de sinal, e esses cantos afiados pode ser arredondado para fora para reduzir a contribuição do inclinação.

Potencial e Estado-do-chão

Para uma partícula em um potencial positivo definido, a função de onda estado fundamental é real e positivo, e tem uma dupla interpretação como a densidade de probabilidade para um processo de difusão. A analogia entre difusão e movimento quântica não-relativística, originalmente descoberto e explorado por Schrodinger, levou a muitas soluções exatas.

A função de onda positiva definida:

$\psi = e^{-W(x)} \,$

é uma solução para a equação de Schrodinger independente do tempo com m = 1 e potencial:

$V(x) = {1\over 2} |\nabla W|^2 - {1\over 2} \nabla^2 W \,$

com energia total zero. W, o logaritmo da função de onda do estado fundamental. O segundo termo derivado é de ordem superior em $\ Scriptstyle \ hbar$ , e ignorá-lo dá a aproximação semi-clássica.

A forma da função de onda estado fundamental é motivada pela observação de que a função de onda estado fundamental é a probabilidade de Boltzmann para um problema diferente, a probabilidade de encontrar uma partícula difundir no espaço com a energia livre em diferentes pontos indicados por W. Se a difusão obedece equilíbrio detalhado e a constante de difusão é o mesmo em toda a parte, a equação Fokker Planck para esta difusão é a equação de Schrodinger quando o parâmetro de tempo é permitido ser imaginário. Esta continuação analítica dá as eigenstates uma interpretação dupla --- quer como os níveis de energia de um sistema quântico, ou os tempos de relaxação para uma equação estocástica.

Harmonic Oscillator

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico.

W deve crescer no infinito, de modo que a função de onda tem um integrante finito. A forma mais simples é analítico:

$W(x) = \omega x^2 \,$

com uma constante arbitrária $\ Omega$ , que dá o potencial:

$V(x) = {1\over 2} \omega^2 x^2 - {\omega \over 2} \,$

Este potencial descreve umoscilador harmônico, com a função de onda do estado fundamental:

$\psi(x) = e^{-\omega x^2 } \,$

A energia total é igual a zero, mas o potencial é deslocado por uma constante. A energia do estado fundamental do unshifted potencial oscilador harmónico de costume:

$V(x) = {\omega x^2 \over 2} \,$

é, em seguida, o aditivo constante:

$E_0 = {a\over 2} \,$

o qual é a energia do ponto zero do oscilador.

Coulomb Potencial

Outra forma simples, mas útil é

$W(x) = 2a|x| \,$

em que W é proporcional à coordenada radial. Este é o estado fundamental para dois potenciais diferentes, dependendo da dimensão. Em uma dimensão, o potencial correspondente é singular na origem, onde tem alguma densidade diferente de zero:

$V(x) = 2a^2 + a \delta(x) \,$

e, até certo redimensionamento de variáveis, este é o menor estado de energia para uma potencial função delta, com a energia estado ligado adicionada.

$V(x) = a \delta(x) \,$

com a energia do estado fundamental:

$E_0 = - 2a^2 \,$

e a função de onda do estado fundamental:

$\psi = e^{-2a|x|} \,$

Em dimensões superiores, a mesma forma dá ao potencial:

$V(x) = 2a^2+ { 2a (d-1) \over r}; \,$

que pode ser identificada como a lei de Coulomb atraente,-se a um aditivo constante que é a energia do estado fundamental. Este é o superpotential que descreve o menor nível de energia do átomo de hidrogénio, uma vez que a massa é restaurada por análise dimensional:

$\psi_0 = e^{-r/r_0} \,$

onde $r_0$ é o Raio de Bohr, com energia

$E_0 = - {2a\over d-1} \,$

O ansatz

$W(x) = a r + b \log(r) \,$

modifica o potencial de Coulomb para incluir um termo quadrático proporcional a $1 / r ^ 2$ , o que é útil para o momento angular diferente de zero.

Operador Formalismo

Bra-ket Notation

No formulação matemática da mecânica quântica, um sistema físico é totalmente descrito por um vetor em um complexo espaço de Hilbert, a coleção de todas as possíveis wavefunctions normalizable. A função de onda é apenas um nome alternativo para o vector de amplitudes complexas, e só no caso de uma única partícula na representação posição é uma onda no sentido usual, uma onda de tempo-espaço. Para sistemas mais complexos, é uma onda em um enorme espaço de todos os mundos possíveis. Dois vectores diferentes de zero que são múltiplos do outro, duas funções de onda que são o mesmo até redimensionando, representam o mesmo estado físico.

O vector de função de onda pode ser escrito de várias maneiras:

1. como um resumoket vetor:

$| \ Psi \ rangle$

2. Como uma lista de números complexos, os componentes em relação a uma lista de vectores de base discreta normalizable $|\eta_i\rangle$ :

$c_i = \langle \eta_i |\psi \rangle$

3. Como uma sobreposição contínua de vetores de base não-normalizable, como estados de posição $|x\rangle$ :

$|\psi\rangle = \int_x \psi(x) |x\rangle$

A divisão entre o modo contínuo e com base discreta pode ser superada através da limitação argumentos. As duas podem ser formalmente unificadas por pensar de cada um como uma medida na linha de número real.

Na notação mais abstrato, a equação de Schrödinger está escrito:

$i\hbar {d\over dt} |\psi\rangle = H |\psi\rangle$

que só diz que a função de onda evolui de forma linear com o tempo, e nomes do operador linear que dá o derivado vez que o hamiltoniano H. Em termos da lista discreta de coeficientes:

$i\hbar {d\over dt} C_i = \sum_j H_{ij} C_j$

que apenas reafirma que a evolução o tempo é linear, uma vez que o hamiltoniano age por multiplicação de matrizes.

Em uma representação contínua, o hamiltoniano é um operador linear, que atua pela versão contínuo de multiplicação de matrizes:

$\langle x| i\hbar {d\over dt} |\psi\rangle = \langle x|H|\psi\rangle = \hat{H} \psi (x)$

Tomando o conjugado complexo:

$-i\hbar {d\over dt} \langle \psi | = \langle \psi | H^\dagger$

Para que o tempo de evolução para ser unitária, para preservar os produtos internos, a derivada temporal do produto interno deve ser zero:

$i\hbar {d\over dt} \langle \psi | \psi \rangle = \langle\psi | H - H^\dagger |\psi\rangle = 0$

para um estado arbitrário $| \ Psi \ rangle$ , que exige que H é Hermitiana. Em uma representação discreta isso significa que $\scriptstyle H_{ij}= H_{ji}$ . quando H é contínuo, deve ser auto-adjunto, que acrescenta alguns requisitos técnicos que H não misturar estados normalizable com os Estados que violam as condições de contorno ou que são grosseiramente unnormalizable.

A solução de formal da equação exponencial é a matriz ( unidades naturais):

$|\psi(t)\rangle = e^{-i H t} |\psi(0)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle$

Para cada operador Hamiltoniano independente do tempo, $\ Hat H$ , existe um conjunto de estados quânticos, $\left|\psi_n\right\rang$ , conhecido comoauto-estados de energia, e correspondente números reais $E_n$ satisfazendo aequação de valores próprios.

$H |\psi_n \rangle = E_n |\psi_n \rangle \,$

Esta é a equação de Schrodinger independente do tempo.

Para o caso de uma única partícula, a Hamiltoniana é o seguinte operador linear ( unidades naturais):

$H = -{\nabla^2 \over 2m} + V(x) = {p^2\over 2m} + V(x)$

que é uma operadores auto-adjuntos quando V não é muito singular e não cresce muito rápido. Operadores auto-adjuntos têm a propriedade de que os seus valores próprios são reais em qualquer base, e os seus vectores próprios formar um conjunto completo, seja discreto ou contínuo.

Expressa em uma base de Autovetores de H, a equação de Schrödinger se torna trivial:

$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi_n \left(t\right) \right\rangle = E_n \left|\psi_n\left(t\right)\right\rang.$

O que significa que cada autoestado energia só é multiplicado por uma fase complexa:

$\left| \psi \left(t\right) \right\rangle = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et / \hbar} \left|\psi\left(0\right)\right\rang.$

Que é o que exponenciação matriz significa --- a evolução no tempo age para rodar as funções próprias de H.

Quando H for expresso como uma matriz para uma base em funções de onda discretos de energia:

$i\hbar {d\over dt} C_i = E_i C_i \,$

de modo que:

$C_n(t) = e^{-iE_n t} C_n(t) \,$

As propriedades físicas dos Cs são extraídos actuando por operadores, matrizes. Redefinindo a base de modo a rodar com o tempo, as matrizes se tornar dependente do tempo, que representa a imagem de Heisenberg.

Invariance galileu

Simetria galileu exige que H (p) é quadrática em p, tanto no formalismo hamiltoniano clássica e quântica. Para impulsos de Galileu para produzir um fator de fase p-independente, px - Ht deve ter uma forma muito especial --- traduções em p necessidade de ser compensada por uma mudança de H. Isso só é verdade quando H é quadrática.

O gerador infinitesimal de Boosts, tanto no caso clássica e quântica é:

$B = \sum_i m_i x_i(t) - t \sum_i p_i \,$

em que a soma é sobre as diferentes partículas, e B, X, p são vectores.

O suporte de poisson / comutador de $\scriptstyle B\cdot v$ com x e p gerar impulsos infinitesimais, com v o infinitesimal vector impulso de velocidade:

$[B\cdot v ,x_i] = vt \,$

$[B\cdot v ,p_i] = v m_i \,$

A iteração destas relações é simples, uma vez que adicionam um valor constante em cada passo. Por iteração, do dv incrementalmente resumir ao finito quantidade V:

$x \rightarrow x_i + Vt \,$

$p \rightarrow p_i + m_i V \,$

B dividida pela massa total é o centro atual da posição de massa menos os tempos de tempo o centro da velocidade da massa:

$B = M X_\mathrm{cm} - t P_\mathrm{cm} \,$

Em outras palavras, B / M é a estimativa actual para a posição que o centro de massa tinha no tempo zero.

A afirmação de que B não muda com o tempo é o centro do teorema de massa. Para um sistema Galileu invariante, o centro de massa se move com uma velocidade constante, e a energia cinética total é a soma da energia cinética do centro de massa e a energia cinética medido em relação ao centro de massa.

Desde B é explicitamente dependente do tempo, H não comutar com B, em vez:

${dB\over dt} = [H,B] + {\partial B \over \partial t} = 0 \,$

isto dá a lei de transformação para H sob impulsos infinitesimais:

$[B\cdot v,H] = - P_\mathrm{cm} v \,$

a interpretação desta fórmula é que a mudança de H sob um impulso infinitesimal é inteiramente determinada pela alteração do centro de massa da energia cinética, que é o produto escalar do momento total com o aumento da velocidade infinitesimal.

As duas quantidades (H, P) formar uma representação do grupo Galileu com carga centro M, onde apenas H e P são funções clássicas no espaço de fase ou operadores de mecânica quântica, enquanto que M é um parâmetro. A lei de transformação para infinitesimal v:

$P' = P + M v \,$

$H' = H - P\dot v \,$

pode ser repetido como antes --- P vai de P a P + MV em incrementos infinitesimais de v, enquanto H muda a cada passo de um montante proporcional ao P, que muda de forma linear. O valor final de H é então alterado por o valor de P a meio caminho entre o valor inicial e o valor final:

$H' = H - (P+{MV\over 2})\cdot V = H - P\cdot V - {MV^2\over 2}. \,$

Os factores proporcional à carga H central são as fases função de onda adicionais.

Aumenta a dar demasiada informação no caso de uma única partícula, uma vez que a simetria galileu determina completamente o movimento de uma única partícula. Dada uma solução dependente do tempo de multi-partículas:

$\psi_t(x_1,x_2...,x_n) \,$

com um potencial que depende somente das posições relativas das partículas, ele pode ser usado para gerar a solução impulsionado:

$\psi'_t = \psi_t(x_1 + v t, ..., x_2 + vt) e^{i P_\mathrm{cm}\cdot X_\mathrm{cm} - {Mv_\mathrm{cm}^2\over 2}t}. \,$

Para o problema de onda estacionária, o movimento do centro de massa apenas acrescenta uma fase global. Quando resolver os níveis de energia dos sistemas de multiparticle, invariância de Galileu permite que o centro do movimento de massa para ser ignorado.

Retirado de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schrödinger_equation&oldid=228026258 "

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