Distribuição de probabilidade

Uma distribuição de probabilidade descreve os valores e probabilidades de que um evento aleatório pode ocorrer. Os valores devem cobrir todos os possíveis resultados do evento, enquanto o total das probabilidades deve Resumindo a exactamente 1, ou 100%. Por exemplo, um único coin flip pode assumir valores Cara ou coroa com uma probabilidade de exatamente 1/2 para cada um; estes dois valores e duas probabilidades compõem a distribuição de probabilidade do único evento moeda lançando. Esta distribuição é chamado uma distribuição discreta porque há um número contável de resultados discretos com probabilidades positivas.

A distribuição contínua descreve eventos sobre uma faixa contínua, onde a probabilidade de um resultado específico é zero. Por exemplo, um dardo atirado em um alvo de dardos tem essencialmente zero probabilidade de pouso em um ponto específico, uma vez que um ponto é infimamente pequena, mas tem alguma probabilidade de aterragem dentro de uma determinada área. A probabilidade de pouso dentro da pequena área do alvo que (espero) ser maior do que a aterragem em uma área equivalente em outro lugar no conselho. A função suave que descreve a probabilidade de desembarque em qualquer lugar no alvo é a distribuição de probabilidade do evento dardo de arremesso. O integrante do função densidade de probabilidade (pdf) sobre toda a área do alvo (e, talvez, o muro que cerca a) deve ser igual a 1, uma vez que cada dardo deve pousar em algum lugar.

O conceito da distribuição de probabilidade e as variáveis aleatórias que eles descrevem subjacente à disciplina matemática da teoria da probabilidade , ea ciência da estatística . Não é espalhada ou variabilidade em quase qualquer valor que pode ser medida numa população (por exemplo altura das pessoas, durabilidade de um metal, etc.); quase todas as medições são feitas com alguma erro intrínseco; em física de muitos processos são descritos probabilisticamente, a partir da propriedades cinéticas de gases para a mecânica quântica descrição partículas fundamentais. Por estas e muitas outras razões, simples números são muitas vezes inadequadas para descrever a quantidade, enquanto distribuições de probabilidade são frequentemente modelos mais adequados. Há, no entanto, complicações matemáticas consideráveis na manipulação de distribuições de probabilidade, já que a maioria padrão aritmética e manipulações algébricas não pode ser aplicada.

Definições rigorosas

Na teoria das probabilidades , cada variável aleatória pode ser atribuído a uma função definida em um espaço de estado equipado com uma distribuição de probabilidade que atribui uma probabilidade para cada subconjunto (mais precisamente cada subconjunto mensurável) do seu espaço de estado , de tal forma que o axiomas de probabilidade estão satisfeitos. Ou seja, distribuições de probabilidade são medidas de probabilidade definida sobre um espaço de estado em vez da espaço amostral. Uma variável aleatória, em seguida, define uma medida de probabilidade no espaço de amostragem através da atribuição de um subconjunto do espaço de amostragem a probabilidade de a sua imagem inversa, no espaço de estado. Em outras palavras, a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é a avançar medida da distribuição de probabilidade no espaço de estado.

Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias de valor real

Porque uma distribuição de probabilidade Pr na linha real é determinado pela probabilidade de estar num intervalo semi-aberto Pr (a, b], a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X de valor real é completamente caracterizada pela sua função de distribuição cumulativa:

Distribuição de probabilidade discreta

Uma distribuição de probabilidade discreta é chamada se a função de distribuição cumulativa só aumenta em saltos.

O conjunto de todos os valores que uma variável aleatória discreta pode assumir com probabilidade diferente de zero ou é ou finito infinito contável porque a soma de uncountably muitos positivos números reais (que é o menor limite superior do conjunto de todas as somas parciais finitas) sempre diverge para o infinito. Tipicamente, o conjunto de valores possíveis é discreto topologicamente no sentido de que todos os seus pontos são pontos isolados. Mas, existem variáveis aleatórias discretas para o qual este conjunto contável é denso na linha real.

Distribuições discretas são caracterizados por um função massa de probabilidade, tal que

Distribuição de probabilidade contínua

Por uma convenção, uma distribuição de probabilidade é chamado contínuo, se a sua função de distribuição cumulativa é contínua, o que significa que ele pertence a uma variável aleatória X em que Pr [X = X] = 0 para todos os x em R.

Outra convenção reserva-se a distribuição de probabilidade contínua prazo para distribuições absolutamente contínuas. Estas distribuições podem ser caracterizados por um função densidade de probabilidade: a não-negativo integrável Lebesgue função definida sobre os números reais tais que

Distribuições discretas e algumas distribuições contínuas (como o escadaria do diabo) não admitem tal densidade.

Terminologia

O suporte de uma distribuição é o menor conjunto fechado cuja complemento tem probabilidade zero.

A distribuição de probabilidade de a soma de duas variáveis aleatórias independentes é a convolução de cada uma das suas distribuições.

A distribuição de probabilidade de a diferença de duas variáveis aleatórias é a correlação cruzada de cada uma das suas distribuições.

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade é discreto. Da mesma forma, uma variável aleatória contínua é uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade é contínua.

Lista de distribuições de probabilidade importantes

Certos variáveis aleatórias ocorrem muito frequentemente na teoria das probabilidades, em alguns casos, devido à sua aplicação em diversos processos naturais e físicas e, em alguns casos, devido a razões teóricas, como o teorema do limite central, a Limite de Poisson teorema, ou propriedades, tais como memorylessness ou outra caracterizações. Suas distribuições, portanto, ganharam importância especial na teoria da probabilidade.

Distribuições discretas

Com o apoio finito

• O Distribuição de Bernoulli, que assume valor 1 com probabilidade p e valor 0 com probabilidade q = 1 - p.
• O Distribuição Rademacher, que assume valor 1 com probabilidade 1/2 e valor -1 com probabilidade 1/2.
• A distribuição binomial descreve o número de sucessos de uma série de independentes Sim / Não experimentos.
• O distribuição degenerada em x _0, em que X é determinado para levar o valor de x _0. Isso não parece aleatória, mas ele satisfaz a definição de variável aleatória . É útil, pois coloca variáveis determinísticas e variáveis aleatórias no mesmo formalismo.
• O distribuição uniforme discreta, onde todos os elementos de um finito conjunto são igualmente prováveis. Isto é suposto ser a distribuição de uma moeda equilibrada, um die imparcial, uma roleta do casino ou um deck bem embaralhadas. Além disso, pode-se usar medições de estados quânticos para gerar variáveis aleatórias uniformes. Todos estes são "físico" ou dispositivos "mecânicos", sujeito a projetar falhas ou perturbações, de modo que a distribuição uniforme é apenas uma aproximação do seu comportamento. Em computadores digitais, geradores de números pseudo-aleatórios são usados para produzir um distribuição uniforme discreta estatisticamente aleatório.
• O hipergeométrico distribuição, que descreve o número de sucessos no primeiro m de uma série de N Sim / Não experiências, se o número total de sucessos é conhecido.
• A lei de Zipf ou a distribuição Zipf. A distribuição de energia-lei discreta, o exemplo mais famoso dos quais é a descrição da frequência de palavras no idioma Inglês.
• O Lei Zipf-Mandelbrot é uma distribuição discreta lei de potência que é uma generalização do Distribuição Zipf.

Com o apoio infinito

• O Distribuição de Boltzmann, uma distribuição discreta importante física estatística que descreve as probabilidades dos vários níveis de energia discretos de um sistema em o equilíbrio térmico. Tem um análogo contínua. Casos especiais incluem:
  • O Distribuição Gibbs
  • O Distribuição de Maxwell-Boltzmann
  • O Distribuição de Bose-Einstein
  • O Distribuição de Fermi-Dirac
• O distribuição geométrica, uma distribuição discreta que descreve o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso em uma série de independentes Sim / Não experimentos.

Distribuição de Poisson

• O logarítmica (séries) distribuição
• O distribuição binomial negativo, uma generalização da distribuição geométrica para o enésimo sucesso
• O distribuição parabólica fractal
• A distribuição de Poisson , a qual descreve um grande número de eventos que ocorrem individualmente improváveis em um determinado intervalo de tempo.

Distribuição Skellam

• O Skellam distribuição, da distribuição da diferença entre duas variáveis aleatórias com uma distribuição de Poisson independentes
• O Distribuição Yule-Simon
• O distribuição zeta tem usos em Estatística Aplicada e mecânica estatística, e, talvez, pode ser de interesse para os teóricos dos números. É o Distribuição Zipf para um número infinito de elementos.

Distribuições contínuas

Suportado num intervalo limitado

Distribuição Beta

• O Distribuição beta em [0,1], de que a distribuição uniforme é um caso especial, e que é útil na estimativa de probabilidades de sucesso.

distribuição uniforme contínua

• O distribuição uniforme contínua em [a, b], onde todos os pontos de um intervalo finito têm a mesma probabilidade.
  • O rectangular distribuição é uma distribuição uniforme em [-1 / 2,1 / 2].
• O Função delta de Dirac, embora não estritamente uma função, é uma forma de limitação de muitas funções de probabilidade contínuas. Ele representa uma distribuição de probabilidade discreta concentrado a 0 - um distribuição degenerada - mas a notação trata como se fosse uma distribuição contínua.
• O Kent distribuição na esfera tridimensional
• O Distribuição Kumaraswamy é tão versátil quanto a distribuição Beta, mas tem formas fechadas simples, tanto para a cdf eo pdf.
• O distribuição logarítmica (contínua)
• O distribuição triangular em [a, b], um caso especial de que é a distribuição da soma de duas variáveis aleatórias distribuídos uniformemente (a convolução de duas distribuições uniformes).
• O distribuição normal truncada em [a, b]
• O Distribuição U-quadrático sobre [a, b]
• O distribuição de von Mises no círculo
• O distribuição de von Mises-Fisher na esfera N-dimensional tem a distribuição de von Mises como um caso especial.
• O Distribuição semicírculo Wigner é importante na teoria de matrizes aleatórias.

Suportado em intervalos de semi-infinitos, geralmente [0, ∞)

distribuição qui-quadrado

• O distribuição chi
• O distribuição chi não central
• A distribuição do Qui-quadrado , que é a soma dos quadrados das variáveis aleatórias gaussianas n independentes. Ele é um caso especial da distribuição gama, e é usado em bondade-de-ajuste testes em estatísticas .
  • O inverso do qui-quadrado de distribuição
  • O qui-quadrado não central de distribuição
  • O scale-inversa-qui-quadrado de distribuição

Distribuição exponencial

• A distribuição exponencial , que descreve o tempo entre os acontecimentos aleatórios raras consecutivos num processo sem memória.
• O F-distribuição, que é a distribuição do rácio de variáveis aleatórias distribuídos dois (normalizado) de qui-quadrado, utilizado no análise de variância. (Chamado de distribuição privilegiada beta quando é a relação de dois variates qui-quadrado, que não são normalizados, dividindo-os pelos seus números de graus de liberdade).
  • O não central F-distribuição

Distribuição Gama

• O Distribuição Gama, que descreve o tempo até eventos aleatórios raros n consecutivos ocorrer em um processo sem memória.
  • O Distribuição Erlang, que é um caso especial da distribuição gama com parâmetro de forma integral, desenvolvido para prever o tempo de espera em sistemas de filas.
  • O distribuição inversa gama-
• O distribuição normal dobrado
• O distribuição meia-normal
• O distribuição gaussiana inversa, também conhecida como a distribuição Wald
• O Distribuição de Lévy
• O distribuição log-logística
• O distribuição log-normal, descrevendo variáveis que podem ser modeladas como o produto de muitos pequenos variáveis positivos independentes.

Distribuição de Pareto

• O Distribuição de Pareto, ou a distribuição "lei de potência", utilizado na análise de dados financeiros e comportamento crítico.
• A distribuição Pearson tipo III (ver Distribuições Pearson)
• O Distribuição Rayleigh
• O Distribuição mistura Rayleigh
• O Distribuição de arroz
• O Rosin Rammler distribuição - usado para descrever o distribuição de tamanho de partícula de partículas geradas pelo moagem, moagem e operações de britagem.
• O distribuição Gumbel tipo 2
• O Distribuição de Weibull, de que a distribuição exponencial é um caso especial, é utilizado para modelar o tempo de vida dos dispositivos técnicos.

Suportado em toda a reta real

Distribuição Cauchy

Distribuição de Laplace

Distribuição Levy

Distribuição normal

• O Distribuição de Cauchy, um exemplo de uma distribuição que não tem um valor esperado ou uma variância . Na física geralmente é chamado de Perfil de Lorentz, e está associada com vários processos, incluindo distribuição de energia de ressonância, impacto e natural ampliação linha espectral e quadrática ampliação linha gritante.
• O Fisher-Tippett, valor extremo, ou log-Weibull distribuição
  • O Distribuição gumbel, um caso especial da distribuição de Fisher-Tippett
• Distribuição Z de Fisher
• O distribuição de valor extremo generalizada
• O distribuição hiperbólica
• O distribuição secante hiperbólica
• O Distribuição Landau
• O Distribuição de Laplace
• O Lévy distribuição alfa-estável inclinação é frequentemente usada para caracterizar os dados financeiros e comportamento crítico.
• O distribuição mapa-Airy
• A distribuição normal , também chamado o Gaussiana ou curva de sino o. Ele é onipresente na natureza e estatísticas, devido à teorema limite central: a cada variável que pode ser modelado como uma soma de muitos pequenos variáveis independentes é aproximadamente normal.
• O Distribuição Pearson tipo IV (ver Distribuições Pearson)
• Distribuição t de Student , útil para estimar desconhecidos meios de populações de Gauss.
  • O não central de distribuição t
• O distribuição Gumbel tipo-1
• O Distribuição Voigt, ou perfil Voigt, é a convolução de uma distribuição normal e um Distribuição Cauchy. Pode ser encontrada em espectroscopia quando perfis de linhas espectrais são ampliadas por uma mistura de Lorentzian e Alargamento Doppler mecanismos.

Distribuições conjuntas

Para qualquer conjunto de variáveis aleatórias independentes função densidade de probabilidade de sua distribuição conjunta é o produto de suas funções de densidade individuais.

Distribuições com valor de Matrix

• Distribuição Wishart
• distribuição normal matriz
• matriz de distribuição t
• Distribuição de Hotelling T-quadrado